30 RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



sistnvn residuo è regolare (rispetto ad A), e viceversa ; la curva fondamentale ha 

 in tale ipotesi il genere effettivo uguale al genere virtuale (per il n° 23, a), tenuto 

 conto del fatto che non può essere P/<P/-) ed è quindi connessa (n° 15, c') ). 



25. Un teorema snl ^rado appartenente ad una curva fondamentale. — Se 



il sistema [C] , di dimensione effettiva Jol, ammette una curva fondamentale F 

 (»w, /j.)^ qualunque, anche la curva composta di r curve tutte identiche ad F è fon- 

 damentale per [C], qualunque sia il numero intero positivo r) quindi (n" 22) alla 

 curva rF (rm, rix) ^ appartiene una dimensione virtuale (rispetto ad A) nulla o nega- 

 tiva. Ora, eseguendo i calcoli e tenendo conto delle (4) e (6) applicate alla F, si 

 trova che questa dimensione vale 



ir jrD^+k;-- p^4-l{ ■ 



Affinchè questa espressione si mantenga g 0, per quanto grande sia r , è necessario 

 che sia 



(21)... i)/^0; 

 quindi 



a) // grado appartenente ad una curva fondamentale non può superare 

 (il sistema lineare essendo almeno oo^). 



È pur degna di nota quest'altra considerazione, che conducendo allo stesso teo- 

 rema , sotto maggiori restrizioni, -dà tuttavia un corollario importante relativo al 

 caso I)f = 0. 



La curva fondamentale F sia monovalente, e non contenga componenti mul- 

 tiple; quanto alla dimensione effettiva k del sistema primitivo [C], ora supporremo 

 soltanto che superi 0. Dette F^, F^ . . . Fi le componenti irriduttibili di jP [i^ 1), 

 ogni curva di [C] passante per un punto generico di F contiene la F, e nell'ipotesi 

 più generale si spezza in ri cm-ve coincidenti con Pj, r^ curve coincidenti con F,_,...ri 

 curve coincidenti con i^, , e finalmente in una curva residua F non avente infiniti 

 punti comuni con F, variabile in un sistema cxd*- * ; la quale V però potrebbe man- 

 care se fosse k = l ed in questo solo caso. La F, se esiste, deve avere almeno una 

 intersezione (rispetto ad A) con F, cioè dei numeri non negativi 



T.F,, T.F, r.F, 



uno almeno deve esser superiore a ; infatti nella ipotesi contraria la curva composta 



C = r,F,-^r,F,+ . . . +riFi + r 



che ha lo stesso ordine di C e le stesse molteplicità nel gruppo base A (per la prima 

 nota al n° 24), sarebbe non connessa ed avrebbe quindi (n" lo, c') ) il genere effet- 

 tivo superiore al genere virtuale, mentre l'uno e l'altro carattere della C uguaglia p 

 genere (sia effettivo, sia virtuale) di [C]. Se ora si nota che per ipotesi 



C. F, = C.F,= 



=C.Fi = 0, 



