DI GUIDO CASTELNUOVO 31 



ossia, ponendo in evidenza le componenti di C, meno la F, 



r, F,.F, + r,F,.F,+ ...+ r, F,.F, ^ 

 r,F,.F,+r,F,.F,+ ...+r,F,,F,^0 



r, F,.F, + r, F,.F, + . . . + r, , 



ne verrà per l'ultima osservazione, che in una almeno di queste si deve prendere il 

 segno superiore, se F esiste. Dividendo la prima per ri, la seconda per r^, . . . l'ul- 

 tima per r, , sommando e tenendo conto della relazione 



si trova 



l,F,.F, + 2\, F,.F,^0 



{h e k numeri distinti scelti fra 1, 2 . . . z) , nella quale deve scegliersi il segno in- 

 feriore solo quando si presentino insieme i due fatti che manchi la F, e sìa 



ri = = . . . = r, . 



Ma il primo membro dell'ultima disuguaglianza (per la (13)' applicata alla curva 

 composta F) non è altro che D^; sicché ritroviamo 



insieme al teorema notevole : 



b) Se un sistema lineare possiede una curva fondamentale monovalente 

 (priva di componenti multiple) alla quale appartenga il grado zero (rispetto ad A), 

 il sistema è un fascio, una cui curva è formata dalla curva fondamentale con- 

 tata una piii volte. 



26. Applicazioni; sistemi sovrabbondanti col minimo numero di punti base. 



— Credo utile interrompere le ricerche generali per fare una applicazione delle cose 

 dette ad una questione iateressante, quella di decidere quale è il minimo numero di 

 punti base che può avere un sistema sovrabbondante. 



Sia [C] un sistema sovrabbondante (quindi ^>0), composto di tutte le curve 

 che passano con molteplicità assegnate Vi , ■ ■ ■ V/» per certi punti ai , a^ . . . a» 

 fissati nel piano. Il gruppo base A di [C] sarà costituito dai punti ora nominati e 

 forse da altri punti au+i . . • , per cui vengano a passare (colle molteplicità Vh+ i - . ■) 

 tutte le curve di [C] in conseguenza delle condizioni imposte da , a^ . . . a». Indi- 

 chiamo con 0' la curva generica d'ordine u — 3 che passa colle molteplicità Vi — 1, 

 Vj — l,..Vft — 1 per ai, ai...an, sicché C.C'^2p — 2. 



Ora supponiamo che i punti , . . . stiano sopra una cubica 7 ; allora la 

 curva 7+C" d'ordine n, comportandosi come C nei punti a^ . . . a^, appartiene 

 al sistema [C]; quindi 



D-(7+C").C=V.C+C.C'; 



