32 KlCERCnE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CUUYE PIANE 



ma D ^2p — 2 {n 19) ; dunque C.C'=2p— 2, y. C=0. Da ciò segue che la curva y 

 è fondamentale per [C\, e che il sistema [C] è ooP ed ha la sovrabbondanza 1 

 (n" 1 9) ; quindi , una sola tra le condizioni imposte da tutti i punti di A essendo 

 conseguenza delle rimanenti," dei punti a^^i. . . può esistere uno al più, e questo deve 

 esser semplice per C e deve stare su 7. 



Ora la ipotesi che i punti ai, . . . stiano sopra una cubica è certo sod- 

 disfatta se /i^9; anzi se h^8 le cubiche y sono 00* ed il sistema [C] , se è so- 

 vrabbondante , ammette 00* cubiche fondamentali e perciò è un fascio di cubiche 

 (u" 22) ; mentre l'ipotesi //,<8 contrasta evidentemente (per il ragionamento del n" 22) 

 coll'altra che [C] sia sovrabbondante. Riassumendo : 



a) Un sistema lineare di curve irriduttibiìi, il quale sia determinato dalle 

 molteplicità delle curve in h tra i suoi punti base, è regolare (e quindi non ha 

 altri punti base) se h<9, fatta eccezione per il fascio di cubiche (h = 8). 



In conseguenza : 



b) Un sistema sovrabbondante ha almeno nove punti base. 



Ci proponiamo ora di stabilire quali siano i sistemi lineari sovrabbondanti con 

 nove punti base (oltre al fascio di cubiche). Il ragionamento ora fatto ci dice che 

 per i nove punti base deve passare una sola cubica 7, e che questa deve esser fon- 

 damentale per il sistema. Ma il grado appartenente ad una cubica rispetto al gruppo 

 costituito da nove suoi punti è ; quindi (n° 25, b)), il sistema che andiamo cercando 

 deve essere un fascio e la cubica 7 contata più volte deve costituire una curva del 

 fascio; sicché l'ordine del fascio sarà 3r (r = 2, 3. .) e la molteplicità in ciascun 

 punto base sarà r. 



c) Un sistema lineare sovrabbondante con nove punti base deve esser ne- 

 cessariamente un fascio di curve (ellittiche) d'ordine 3r (r=:l,2..,) colla mol- 

 teplicità r in ciascuno dei punti base (0. 



Vogliamo finalmente occuparci di quei sistemi lineari sovrabbondanti che pure 

 avendo più di 9 punti base sono determinati dalle molteplicità in 9 tra questi punti base. 



Siano «1, a.y . . . a^ i nove punti base ; oltre a questi vi può essere al più (per 

 ciò che dissi sopra) un ulteriore punto base b, semplice per il sistema. Siano Vj, Vj. . . 

 le molteplicità di C nei punti base , . . . ag ; se per evitare considerazioni mi- 

 nute (che non è qui il luogo di fare trattandosi di una semplice applicazione di 

 risultati generali) supponiamo che sia irriduttibile la cubica passante per i punti base, 

 si può, senza nuove restrizioni, ritenere che la somma di tre qualunque delle v non 

 superi n (ordine di G) , giacche in caso opposto , assumendo i corrispondenti punti 

 base come pimti fondamentali in una trasformazione quadratica (la quale è sempre 

 possibile per l'ipotesi fatta sulla cubica) il sistema si muterebbe in uno d'ordine più 

 basso. D'altra parte la cubica nominata deve essere fondamentale per [C]; quindi 



3« Z= Vi + + . . . + Vg + 1 , 



la quale, tenuto conto della precedente considerazione, ci dice che una sola delle v 



(1) I fasci di curve ellittiche che qui si presentano furono già studiati specialmente da Halphen 

 (Bulietin de la Socióté Mathém. de France, t. X) e Bestini (Annali di Matematica, t. 8", serie II). 



