DI GUIDO CASTELNUOVO 



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è inferiore a -, e precisamente uguale a - — 1 , mentre le altre otto v uguagliano - . 

 Ora una curva d'ordine n avente queste molteplicità è di genere - ; quindi conchiu- 

 diamo che 



d) Ogni sistema lineare di curve di genere p, il quale sia determinato da 

 nove dei suoi punti base (giacenti sopra una cubica irriduttibile) e possegga tuttavia 

 altri punti base, può sempre mediante una trasformazione hirazionale ridursi al tipo 



C^Plafai" . . . ai-a^'-H] 



che ha V ordine 3p e Za dimensione effettiva p; i 10 punti base giacciono sopra 

 una cubica fondamentale (1). 



27. Sistema aggiunto. — Ritorniamo al sistema lineare irriduttibile generale 

 [C], ed occupiamoci del sistema aggiunto a [C] costituito dalle oo?-' curve d'ordine 

 fi — Z aggiunte a C. Di questo sistema aggiunto ci siamo già serviti più volte per 

 dedurne proprietà relative a [C] (n' 20, 23, 26); ed una conoscenza più profonda 

 dei legami tra il sistema dato ed il suo aggiunto conduce a teoremi nuovi ed impor- 

 tanti sili sistemi lineari. 



È noto che la serie segata su C dalle proprie curve aggiunte (d'ordine w — 3) 

 non ha punti fissi (cioè punti comuni a tutti i suoi gruppi) , segue quindi che se 

 una curva y forma parte di ogni curva del sistema aggiunto a [C], la curva y 

 è fondamentale per [C]. Ogni curva Gi che con y costituisca una curva di [C] ha 

 per curva aggiunta ogni curva che con y costituisca una curva aggiunta a [C] ; sicché 

 il genere effettivo di Ci è p (non superiore per il n° 15, a)). Viceversa se 7 è tal 

 curva fondamentale di [C] che il sistema residuo [Ci] abbia il genere effettivo uguale 

 a p, allora 7 si staccherà da ogni curva aggiimta a C; e 7 insieme alle curve ag- 

 giunte a [Ci] darà tutte le curve aggiunte a [C]. 



In particolare (n° 24, c)): 



Una curva fondamentale di [C] alla quale il gruppo base imponga condizioni 

 tutte indipendenti (cioè kr=0), si stacca da ogni curva del sistema aggiunto (2). 



Molto resterebbe a dire sul complesso delle curve che si staccano da ogni curva 

 del sistema aggiunto, ma poiché la ricerca mi condurrebbe a lunghe digressioni senza 

 offrire notevoli vantaggi nelle applicazioni che qui mi propongo di fare , abbandono 

 per il momento tale questione. 



Fatta astrazione dalle curve fisse (se esistono) che formano parte di ogni curva 

 d'ordine n — 3 aggiunta a C, restano quando p>l, ocP~^ curve variabili, le quali 

 segano su C la serie ó'j^"^ ; il sistema da esse costituito può dirsi sistema aggiunto 



puro di C. L'importanza che questo sistema ha nello studio di [C] è provata dal 

 teorema : 



La trasformazione hirazionale che muta un sistema lineare [C] (di dimensione 



(1) All'esistenza di siffatti sistemi per p qualunque >0, accennò il sig. Jung nella Memoria 1, 

 Ricerche sui sistemi lineari (Annali di Matem., serie li, t. 15). 



(2) L'esempio più semplice è offerto da una retta che congiunga un punto base r-uplo con un 

 punto base (w — r)-uplo in un sistema d'ordine n. 



Serie II. Tom. XLII. e 



