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RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



][={)) in un sistema [C*], muta il sistema aggiunto puro di [C] nel sistem.a ag- 

 giunto puro di [C*] Ciò deriva subito dall'osservazione fatta al 9, che ogni curva 

 d'ordine n* — 3 aggiunta a C* è costituita dalla trasformata di una curva d'ordine 

 n — 3 aggiunta a C, presa insieme a certe curve fisse fondamentali per [C*]. 



28. a) Se il sistema aggiunto puro è riduttibile, la curva generica del sistema 

 [C] è iperellittica. — Infatti per la definizione data, e per un teorema già citato del 

 sig. Bektini sui sistemi riduttibili, la curva generica C" del sistema aggiunto puro non 

 può scindersi che in j) — 1 curve c di un fascio ; e poiché C' sega la curva generica C 

 di [C] in 2 j9 — 2 punti, ciascuna delle oo* c segliorà la C in una coppia di punti, 

 il che dimostra il teorema. Siccome poi per un punto della coppia passano infinite 

 curve di [C] (/.;> 1 ) , ciascuna delle quali sega la c in un punto ulteriore che è va- 

 riabile, se le curve di [C] passanti per un punto arbitrario del piauo non passano 

 tutte in conseguenza per un altro punto determinato dal primo, conchiudiauio che in 

 questa ipotesi c è razionale; quindi tenendo conto della nota al n° 19, giungiamo 

 al teorema: 



a') Se la dimensione effettiva di [C] supera p + l, ed il sistema aggiunto 

 puro [C] di [C] è riduttibile, la curva generica di [C'] si spezza in p — 1 curve 

 razionali (^X 



b) La serie g„" segata dalle rette del piano sulla curva generica di [C] , 

 quando è speciale, è contenuta in una serie gn'''^' dove d(^0) è la differenza tra 

 n— 3 e V ordine del sistema aggiunto puro. Infatti se g„^ è speciale, esiste al- 

 meno una curva C del sistema aggiunto puro che contiene n punti in linea retta 

 di C ; ora, afiìnchè C' contenga tutti questi n punti, è sufficiente che essa ne contenga 

 al massimo {n — 3 — + sicché altrettante sono al piii le condizioni indipendenti 

 che un gruppo di g„^ presenta ad una curva aggiunta d'ordine ìi — 3, e ciò basta 

 per concludere che la g„- sta in una serie g„"~^"~^~''^~^ = g,,'''^'. Ed ora, ricordando 

 che una serie g,,^ (il cui gruppo generico non sia costituito da tre gruppi di una serie 



semplicemente infinita) non può stare sopra una curva di genere p > ^ — (3), che se 



vale questa disuguaglianza la g„- è certo speciale per n>5 (poiché allora jo>w— 2), 

 e trattando direttamente i casi w =r 4, 5, segue il corollario: 



b') Se il sistema aggiunto puro ad un sistema di genere p, ha l'ordine n 



ed è p> , il sistema primitivo è di ordine n = n' + 3. 



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Con un ragionamento analogo si dimostra che 



c) Se sulla curva generica C di un sistema lineare le rette uscenti da un 



(1) In altre paiole il legame tra ua sistema liaeare e il sistema aggiunto puro è invariantivo per 

 trasformazioni birazionali. 



(2) K come risulta facilmente dai ragionamenti qui fatti, per affermare che è riduttibile basta 

 sapere che A>>p + 1 , e che la curva generica di [C] è iperellittica ; v. a questo proposito la mia 

 Nota: Massima dimensione dei sistemi lineari (Annali di Matem., serie 2*, tomo 18°). 



Si dimostra pure senza diflScoltà che per se [C] è riduttibile, il genere delle oo' curve 



c non può superare 1. 



(3) Halphen, Bulletin de la Société Mathém., t. 2. 



