DI GUIDO CASTELNUOVO 



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punto base (multiplo secondo n — p.) segano una serie speciale (f^^2), e le stesse 

 rette segano sulla curva aggiunta pura generica la serie la differenza d=u — ju.'— 2 

 è almeno zero, e la serie %^ è contenuta in una g/"^*- Infatti ogni curva d'ordine 

 n—'ò aggiunta a C sega una retta per il punto base (oltre che in n — — \ punti 

 in esso coincidenti) in (w — 3) — (w— /x— l) = a — 2 punti ; sicché (una curva aggiunta 

 pura essendo parte di una curva aggiunta d'ordine n—'ò) sarà [x'^[j.— 2. Di più 

 un gruppo della g^^ giace tutto sopra ogni curva aggiunta pura C che ne contenga 

 al più a'+l=jy.— tì! — 1 punti comunque scelti, e ciò prova chela ^/^* è contenuta 

 in una g^f'^^- 



E qui si osservi, quando ^>0, che nella serie completa g^^ {p=d-^ l^l), a 

 cui appartiene , tutti quei gruppi i quali contengono uno stesso punto generico 

 di C, non possono aver comune in conseguenza un secondo punto di C (1) ; quindi 



la gj^ non può esistere sopra una curva di genere p se p>~ — ^ir^' ; donde il 



a 



teorema : 



c') Se sulla curva generica del sistema aggiunto puro di tm sistema di 



genere p, le rette uscenti da un punto base segano la serie g^/* ed è p> -^-^ — -, 



2 



le rette s fesse segheranno sulla curva generica del sistema primitivo la serie g^^'+ì' 

 Questo teorema vale anche nel caso estremo = ; esso allora può enunciarsi : 

 c") Se il sistema aggiunto puro di un sistema di genere p si compone dei 

 gruppi di p — 1 rette di un fascio, il sistema primitivo è formato di curve (iperel- 

 littiche) di un certo ordine n aventi nel centro del fascio un punto multiplo se- 

 condo n — 2. 



29. Una relazione fra i caratteri virtuali di un sistema lineare e del sistema 

 aggiunto puro. — Siano j?, k, D i caratteri del sistema lineare [C] rispetto al 

 suo gruppo base A, e p', k' siano il genere virtuale e la dimensione virtuale del sistema 

 aggiunto puro [C"] sempre rispetto ad J. ; la dimensione effettiva di [C'] è come 

 sappiamo p — \ (^k') , e 2p — 2 è il numero delle intersezioni rispetto ad A di 

 C e C. 



1) Se la curva generica di [C"] non forma parte di una curva di [0], da un 

 teorema enunciato al n" 21 si deduce la disuguaglianza 



(22)' . . . k<2i)-p' — 1 , 



(d) Ciò per il teorema: Se in una g completa, sema punti /issi, giacente sopra una curva d'or- 

 dine n , avviene che i gruppi aventi un punto generico in comune abbiano in conseguenza qualche 

 altro punto comune, in ogni gruppo della serie si trovano — 2 punti per i quali passano curve ag- 

 giunte d'ordine a — 3 non contenenti tutto il gruppo. Infatti detto a un punto del gruppo e j? un 



punto comune a tutti i gruppi di g^ che contengono «, il gruppo G^^_, che con « e ^ costituisce G^ 

 f— 1 



appartiene ad una serie 9^ ^ & quindi impone soltanto — 2 — (p — 1) = /* — p — i condizioni ad una 

 curva aggiunta d'ordine n — 3 che debba contenerlo; mentre una curva aggiunta per contenere 

 tutto G^ deve soddisfare a //. — p condizioni indipendenti. 



