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RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



la quale nella ipotesi 



a) k>j? + l 

 ci dice che 



fi) i)>p'+2; 



fflcchè per il teorema del n° 19 concludiamo che [C], se è irriduttibile, è regolare. 



2) Se invece la curva generica di [C'] forma parte, di qualche curva di [C] 

 esisterà un sistema [C"] (almeno oo°) residuo di [C]. In relazione con ciò che di- 

 cemmo al n° 21 , osservando che la molteplicità effettiva v' di [C'J in un punto 

 v.uplo di [C] non supera y — 1, assumeremo come molteplicità virtuale di [C] in 

 quel punto la differenza v — v'; e indicheremo con p", k" i caratteri virtuali di [C"] 

 rispetto ad A (calcolati tenendo conto delle molteplicità virtuali y — v', secondo le 

 norme stabilite al n° 21). Allora dalla (17) del n° 21, ricaviamo 



(22)... k = 2i)~p' + k"— 1 



(la quale per valori negativi di k" si riduce alla (22)'); e dalla (16) del n° 21 

 scambiando le veci dei sistemi [C"] , [C"] otteniamo 



V) 2> = P'+A"-k" 



dove 



A"=C.C"=:D-{2p—2). 



Ora, se anche qui facciamo l'ipotesi a), che (n" 19) coincide colla D:>2p , 

 troviamo A">2 e quindi (^) 



k"^A"-2 , 



in virtù della quale la •/) ci dà 



P') i5>p + l. 



E da questa (come dalla |3) ) si deduce (tenendo presente il n° 19) che [C] è 

 un sistema regolare, se è irriduttibile. 



Finalmente se verificandosi la a) il sistema [C] è riduttibile, ogni sua curva 

 come sappiamo (n° 28, a')) si spezza in p — 1 curve razionali appartenenti ad un 

 fascio; sicché (continuando a sussistere la (22)' o la (22)) troviamo inoltre (per le 

 formolo del n" 13) 



p'=-p + 2, k'=23— 1, 



l'ultima delle quali ci dice che anche in questo caso [C] è regolare. Possiamo adunque 

 enunciare i teoremi : 



a) Se la curva generica del sistema aggiunto puro [C'] non forma parte 

 di una curva del sistema primitivo [C] vaie la disuguaglianza 



(22)'... k<2p-p'-l , 



(1, Ciò deriva dall'osservare che le curve di [C'^ segano sulla curva generica C una serie d'ordine 

 A">2 e di dimensione almeno uguale a k"; ora se fosse k" = A" — i>l, la curva C dovrebbe 

 essere ellittica, mentre l'ipotesi p=.i si infende esclusa dovunque si parla di sistema aggiunto puro. 



