DI GUIDO CASTELNUOVO 



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mentre se il sistema [C'] ammette un sistema residuo [C] di dimensione virtuale 

 k", si ha 



(22)... k = 22J-p'+k"— 1 . 



b) Se la dimensione effettiva (e quindi virtuale) di [C] supera p + 1 il si- 

 stema aggiunto puro [C'] è regolare (1) ed il suo genere p' è inferiore a p — 1. 



30. L'importanza della formola (22) riuscirà evidente quando si sarà dimostrato 

 che la dimensione virtuale k" del sistema [C] non può superare 9. Basterà che ci 

 limitiamo al caso k>p+l (perchè nel caso opposto risulta A"^2 e quindi k"gl). 



Se k>jj+ li psr il teorema 6) si ha Is! =p~l; fatta questa sostituzione 

 nella (16) del n° 21, essa ci dà p" = l. Quindi il genere effettivo p" di C" non 

 può esser inferiore ad 1 (n° 3) ; ma non può nemmeno superare 1 , poiché altrimenti 

 una cui'va aggiunta a C" insieme con una curva di C costituirebbe una curva (d'or- 

 dine n — 3) aggiunta a C, secante C in più di 2p — 2 punti. Dunque il genere 

 virtuale ed il genere effettivo del sistema [C] uguagliano V unità. 



1) Se [C"] è irriduttibile per un noto teorema sui sistemi di curve ellittiche, 



si ha: 



k"g9; 



e se k" raggiunge il valore 9, il sistema \C"\ può trasformarsi (birazionalmente) nel 

 sistema di tutte le cubiche del piano. La stessa trasformazione applicata al sistema 

 [C], lo muta in un sistema [(7*] al quale appartiene ogni curva costituita da una 

 curva aggiunta a C* e da una cubica arbitraria del piano. Un tal sistema [C*] 

 evidentemente non ha punti base, e perciò deve esser formato da tutte le curve piane 

 di un certo ordine m. 



2) Se [C"] è riduttibile e k">0, ogni curva G" (in virtù del teorema di 

 Bertini sui sistemi riduttibili, ed inoltre dell'uguaglianza p"=j)"), si spezza in una 

 cm-va fissa ed in una curva irriduttibile c" variabile in un sistema [c"J di dimensione 

 virtuale ^ k". Per trovare un limite superiore a k" conviene qui di ricorrere al se- 

 guente artificio già accennato al n*' 16. 



Detto A il gruppo base di [C] imaginiamo un nuovo gruppo base a composto di 

 altrettanti punti, e insieme ad ogni sistema di curve di dato ordine passanti con mol- 

 teplicità virtuali assegnate per i punti di A consideriamo il sistema costituito dalle curve 

 dello stesso ordine che passano colle stesse molteplicità rispettivamente per i punti di 

 a; questo secondo sistema diremo imagine del primo: i due sistemi hanno gli stessi 

 caratteri virtuali rispetto ad A, a (n. 16). Siano [F], [F"], [7"] i sistemi imagini 

 di [C], [C"], [c"] e supponiamo che i punti di a siano scelti in posizione generale 

 in guisa che anche il sistema [F"] (oltre a [F]) sia irriduttibile (il che è sempre 



(1) Questa affermazione non è contenuta nel teorema che è rerjolare il sistema delle curve aggiunte 

 d'ordine n — 3; qui infatti si tratta del sistema aggiunto puro, il quale può esser sovrabbondante se 

 k^p + i. Così ad es. il sistema oo^ di curve d'ordine 8 e genere 2 [a,*, a^", 61", b^^ . . . 6,'] , i cui 

 nove punti base sono comuni a 00* cubiche , ha precisamente per sistema aggiunto puro il fascio di 

 cubiche, che è sovrabbondante (rispetto al gruppo base del sistema primitivo). 



Le considerazioni di questo paragrafo ci provano pure che se k = p-{-i risulta p^p'+l, il 

 segno inferiore potendo valere soltanto se C è iperellittica ; ed, esclusi i sistemi di curve iperellittiche, 

 si tròva che se h=zp, allora p^p' + l. 



