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RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



possibile per il n° 16). Allora, per ciò che dissi nella ipotesi 1), la dimensione virtuale 

 di [r"J. che è k", non può superare 9. Anzi questa volta deve essere 



k"<9; 



poicliè se fosse k"=9, trasformando [I"] nel sistema [F"*] di tutte le cubiche piane, 

 il che muta [T] nel sistema [F*] di tutte le curve di un certo ordine m, ['/"] si 

 muterebbe in un sistema [v"*] almeno ex;* secante sopra ogni curva d'ordine v> una 

 serie contenuta nella serie secata sulla curva stessa dalle cubiche F"*; e ciò è pos- 

 sibile soltanto quando y"* = F"*, ossia c"= C", contro l'ipotesi che c" sia una 2ìnrfe di C". 



Se ora ritorniamo alla formola (22), tenendo conto della relazione k"^9, pos- 

 siamo scrivere la disugualianza 



k^2ij — p' + 8, 



ricordandoci che quando vale il segno inferiore allora il sistema [C] può trasformarsi 

 nel sistema costituito da tutte le curve piane di un certo ordine vi. Giungiamo quindi 

 all'importante teorema : 



a) Fra la dimmsione virtuale k ed il genere p di un sistema lineare, 

 ed il genere virtuale p' del sistema aggiunto puro passa la relazione 



(23) ... k^ 2i)-p'4-7 , 



b) fatta eccezione soltanto per il caso in cui il sistema primitivo può tras- 

 formarsi nel sistema costituito da tutte le curve piane di un certo ordine m; nel 

 qual caso è 



(23)'... k = 2j)-p'+8 



/ m{m->r'ò) (w — l)(w? — 2) , (w_4)(w?-5)\ 

 led anzi k = /. = ,p= , p'=jj= ^ 1. 



31. Sistemi lineari aventi la massima dimensione. — Le relazioni (23), 

 (23)' in cui scriveremo k al posto di k, poiché ci limiteremo ai sistemi con 1i.j>p + 1 (i 

 quali, come sappiamo, sono regolari), ci offrono il modo di rispondere alla questione: 

 Dato il genere p>0 di un sistema lineare, gitale è la massima dimensione che 

 il sistema può avere? Il primo dei risultati che qui ottengo si trova (dedotto per 

 via molto diversa) in una mia Nota già citata degli Annali di Matematica (serie 2*, 

 tomo 18). 



11 massimo valore di k (se i)>l) corrisponde per la (23) al minimo valore 

 di p'; ora p' è negativo solo quando la curva generica 0' del sistema aggiunto puro 

 a [C\ si scinde in. p — l curve c' di un fascio, le quali sono certamente razionali 

 se ìc:>p+ 1 (n" 28, a')); ed in tal caso è precisamente (per la (12)' del n" 13) 



p' = -i^ + 2 



ossia per la (23) 



k^Sp + 5. 



Quanto alla (23)', che introducendovi il valore ora accettato di p', diventa 

 k= 3p + G , si riconosce direttamente che essa sussiste soltanto se ìh = 3 ; sicché 



