DI GUIDO CÀSTELNUOVO 



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ricordando le note proprietà dei sistemi di curve razionali ed ellittiche, abbiamo il 

 teorema : 



a) Ogni sistema lineare la cui dimensione superi Bp + 5 si compone di 

 curve razionali ed è trasformabile in un sistema di curve di un certo ordine m 

 con un punto base multiplo secondo m — 1 (e forse altri punti base semplici). 



a') fatta eccezione soltanto (p = l, k= 9) per il sistema di tutte le cubiche 

 piane (ed i suoi trasformati). 



Ed ora veniamo ai sistemi per cui 



Finché p' < 0, il che certo succede per la (23) se 



2i) + 8 , 



la curva C', come dissi , si scinde 'm p — \ curve razionali di un fascio , e quindi 

 (n° 28, c")), il sistema primitivo [C] si compone di curve iperellittiche e può tras- 

 formarsi in un sistema di curve di un certo ordine m con un punto base multiplo 

 secondo m — 2; sicché tenendo conto ora anche della (23)', giungiamo al teorema : 



b) Ogni sistema lineare la cui dimensione superi 2p -(- 7 (od è contenuto 

 in uno dei sistemi nominati nei teoremi a) , a') , oppure) si compone di curve iper- 

 ellittiche ed è trasformabile in un sistema di curve di un certo ordine m con 

 un punto base multiplo secondo m — 2 (e forse altri punti base) ; 



b)' fatta eccezione per il sistema (p=3, k=:14) di tutte le quartiche 

 piane (e suoi trasformati). 



b") e per il sistema (p=6, k=20) di tutte le quintiche piane (e suoi 

 trasformati). 



Si aggiunga che come risulta subito dalla considerazione dei sistemi di ordine 

 m con un punto base multiplo secondo m — 2 (e quantisivogliano punti doppi) , un 

 sistema iperellitfico di genere qualunque può raggiungere colla sua dimensione il 

 valore massimo 3p + 5. 



Passiamo ai sistemi per cui 



h^2p +1. 



Il sistema aggiunto puro [CJ ha, come sappiamo, la dimensione p — 1 ; quindi 

 se esso è irriduttibile (per modo che p' = p'), e so di piti 



p - 1 > 3^)' + 5 



ossia se 



x) 



per i teoremi a), a)' esso 



a) si compone di curve razionali e si può ridurre ad un sistema di curve 

 di un certo ordine w' con un punto base multiplo secondo m' — 1, 



a') si trasforma nel sistema di tutte le cubiche piane. 

 In corrispondenza il sistema primitivo [C] (per il n° 28, c'), b')) 



si compone di curve contenenti una serie g^^ e si può trasformare in un 

 sistema di un certo ordine m con un punto multiplo secondo m — 3, 



