40 RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



oppure si trasforma in un sistema di sestiche piane senza punti doppi. 

 Ora, la disuguaglianza x) sussiste certo (per la (23)) se 



ossia 



purché si escludano quei sistemi a cui si riferisce la formola (23)'; nel caso presente 

 il solo sistema da escludersi è quello costituito dalle cxs'' curve del settimo ordine 



Possiamo quindi enunciare il teorema : 



5p 



c) Ogni siatertìa lineare la cui dimensione superi — (od è contenuto in 



o 



uno dei sistemi nominati nei teoremi a) , a') , b) , b') oppure) si compone eli curve con- 

 tenenti una serie gj', ed è trasformabile in un sistema di curve di un certo ordine 

 m con un punto base multiplo secondo m — 3 (e forse altri punti base); 



c') fatta eccezione per il sistema delle sestiche con un punto base semplice 

 al più (p = 10, k = 26, 27); 



e' ) e per il sistema di tutte le curve piave del settimo ordine (p r=15,k=r86). 

 Si riconosce inoltre, considerando un sistema di curve d'ordine m con un punto 

 base d'ordine m — 3, quantisivogliano pun^i tiipli, e nessun altro punto base che mw 

 sistema della categoria c) di genere qualunque p può raggiungere colla sua di- 

 mensione il valore massimo 2p4-7. 



32. Le proposizioni del paragrafo precedente conducono per induzione al seguente 

 teorema generale che ora mi propongo di dimostrare: 



Un sistema lineare di genere p la cui dimensione k soddisfi alla relazione 



(24) . . . 1c^ifj. + 2) (^^-{-2^ (jj. intero e positivo) 



1) si può trasformare in un sistema di curve d'ordine m^2p. + 1, 



2) si può trasformare in un sistema di curve di un certo ordine M 

 avente un punto base di molteplicità v^M — ^. (^). 



Sia [C] il dato sistema; \G'\ il sistema aggiunto puro, il cui genere indiche- 

 remo con p'. Fra i caratteri h, p e p' o sussisterà la relazione (23) o la (23)'. 



Siccome la seconda ipotesi si discute più facilmente, comincio da essa la dimo- 

 strazione. 



1. Sussista adunque l'uguaglianza 



(23)'. . . k^2p-p' + 8; 



(1) Del solo caso 2) si deve tener conto se p>>^^^-^— ^ . 



Una parte di questo teorema può anche enunciarsi così : La curva generica di un sistema lineare 

 per cui sussista la (24) o contiene una serie g^* dove mg 2//+ 1, o una serie g^* dove mg/i. 



