DI GUIDO ÒASTELNUOVO 



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allora come sappiamo (n" 30. h)) il sistema [C] può trasformarsi nel sistema costi- 

 tuito da tutte le curve piane di un certo ordine m ; sicché si ha 



, m{m + S) (m - l)(m — 2) 



i=^-^,p = ^ . 



Se si pone m — 2\].-\- \ + o e si sostituiscono le corrispondenti espressioni di 

 e p nella (24), fatti i calcoli, si trova che la (24) può sussistere soltanto se o^O; 

 ed anzi se <5=0 la (24) si riduce ad una uguaglianza. Dunque nella ipotesi che 

 si verifichi la relazione (23)' il sistema proposto può trasformarsi sempre in uno co- 

 stituito da tutte le curve piane di un certo ordine 2,0. + 1 ; ed in questo caso 

 il teorema è dimostrato. 



II. Resta da esaminare il caso in cui 



(23)... /,<2i9 - jy+ 7 ; 



qui procederemo col metodo di induzione completa ; ammetteremo cioè che sussista 

 il teorema che si ottiene scrivendo 'j. — 1 (oppure un numero inferiore) ovunque sta 

 scritto f., e partendo da questa ipotesi dimostreremo il teorema, come lo abbiamo enun- 

 ciato; il quale dovrà sussistere qualunque sia a, poiché si verifica per jU. = 1, 2, 3. 

 Osservo intanto che se oltre alla (24) fra /c e p passasse anche la relazione 



(che dalla (24) si ottiene mutando jU. in \}.~ 1) per l'ipotesi ora fatta, il teorema 

 proposto si verificherebbe certamente. Posso quindi limitarmi al caso in cui 



,<(^ + l)(_^^+2); 



allora per la (24) si ha 



,^ + 2)(U2)<(,.+ l)(^-^j + 2) 



ossia 



a) jp>u(a. — 1). 



Esaminiamo ora quale relazione passi fra la dimensione ^'=jj — 1 ed il genere 

 p' del sistema aggiunto puro. Perciò basta osservare che dalle (23) e (24) segue 



2i>-2^'+ 7^(u+2) (1+2) 



ossia 



P^ -^+2v.+l, 

 [j. - 2 



e ponendo // + 1 in luogo di p 



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