42 RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



la quale non differisce dalla (24) se non per essersi scritto /jl — 2 al posto di (j. (il 

 sistema considerato essendo ora [C] anziché [C]). Ne viene che per la ipotesi fatta 

 sulla validità del nostro teorema fino a il sistema aggiunto [C], 



1) può trasformarsi in un sistema [F/j di curve di un certo ordine 



(3.) ?)/^2(,a — 2) + l=2/v. — 3, 



2) oppure può trasformarsi in lui sistema [F/J di curve di un certo ordine M' 

 avente un punto base di molteplicità 



Nel caso 1) la trasformazione che muta [C] in [F/J muterà [C] in un sistema 

 [Fi] avente [F/] come aggiunto puro. Ma allora per il teorema b') del n° 28 



l^che ponendovi m' in luogo di n' è qui applicabile, visto che per la «) e |3j) 2^ > 



il sistema dovi'à comporsi di curve d'ordine 



9» = w'+ 3^2|(JL ; 



e cosi anche in questo caso il teorema è dimostrato. 



Finalmente nel caso 2) la trasformazione che muta [C] in [F,'] muterà [C] in 

 un sistema [F,] avente [Fj'] per aggiunto puro. Sicché [Fj] per il teorema d) del 

 n° 28 (il quale quando si scriva Jf — v' al posto di y!, e si tenga conto delle a) 

 e (3j) è certo applicabile al caso nostro) deve comporsi di curve di un certo ordine M 

 aventi in comune un punto multiplo secondo 



V =r 31— {31'— v') —2^31 — ;j. . 

 Con ciò il teorema di questo numero è completamente dimostrato. 



33. Dal teorema precedente segue subito che : 



Se fra h serie lineari semplicemente infinite {di gruppi) che giacciono sopra 



(2,y--2)(2a-3) „ , 



la curva generica ai un sistema lineare ai genere p > , quella ai 



ordine minimo si compone di gruppi di [j. punii , la dimensione del sistema non 

 può superare 



Ora è interessante il notare che questo valore massimo può esser raggiunto , 

 qualunciue sia a, in corrispondenza ad infiniti valori di p. Infatti, come lo prova il 

 calcolo diretto, l'espressione precedente dà la dimensione del sistemn costituito dalle 

 curve di ordine qualunque n aventi in comune un punto di molteplicità n — ]U, quan- 

 tisivogliano punti di molteplicità tj., e nessun altro punto base. 



Il teorema del n" 32 conduce | per p^^J/'^^ ad una categoria di sistemi lineari 



rappresentativi di superficie con una serie semplicemente infinita di curve razionali d'or- 

 dine ij. ; di tali superficie gli esempi più semplici sono offerti dalle rigate razionali , 



