DI GUIDO CASTELNUOVO 



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mentre per i =4, b. . . h 



Vi — 1 se V, > 



Vi se Vi = 



La trasformata C* di C ha (come risulta dalle formole (8), (8)' applicate ad essa) 

 l'ordine 



w'*= 2w — V, — V,— Vj — 3 = w* — 3 



e le molteplicità 



— Vi — i, — V 2 — 1, V3 — V 3 — i 



V,* — 1 se V * > 



per « = 4 , 5 , . . . /i 



V * se Vi* = 



Dunque C* è proprio una curva d'ordine w* — 3 aggiunta a C*; e possiamo con- 

 cludere che in questo primo caso ogni curva (d'ordine n — 3) aggiunta a C si tras- 

 forma in una curva (d'ordine n* — 3) aggiunta a C*. 



Passiamo ora al secondo caso in cui uno almeno dei punti «i , «2 , aj, ha la cor- 

 rispondente molteplicità uguale a ; sia ad es. 



Vi= 0, Vj> 0, V3> 0; 



la curva aggiunta C d'ordine n' = w — 3 ha nei punti ai, a^, le molteplicità 



v\ = Q , v'i = Vi — 1, ^'3=^3 — 1. 



Ora si verifica subito che C'* trasformata di C" ha l'ordine 



w' * = «* — 4 , 



e le molteplicità in a*, a*, a* espresse da 



mentre negli altri punti di A* la (7'* si comporta come una curva aggiunta a C*. Si 

 può adunque dire che la trasformata (7'* di una curva (d'ordine n — 3) aggiunta a 

 C , insieme colla retta a* a* (imagine del punto fondamentale ai esterno a C) 

 dà una curva d'ordine n* — 3 aggiunta a C*. Più in generale se f punti fonda- 

 mentali della trasformazione (quadratica) T hanno la moltiplicità per G, la 

 trasformata di una curva (d'ordine n — 3) aggiunta a C, insieme alle f rette di e* 

 imagini degli f punti nominati , dà una curva d' ordine «* — 3 aggiunta a (7*. 

 Dunque ad ogni curva aggiunta a C corrisponde una curva aggiunta a C*, e reci- 

 procamente ; dal che risulta che il sistema delle curve aggiunte a C ed il sistema 

 delle curve aggiunte a C* hanno la stessa dimensione effettiva ossia 



(10)'... p*=jp a) 



I risultati ottenuti in questo n", estesi al caso in cui più trasformazioni qua- 

 dratiche si succedano, possono riunirsi nel seguente teorema: 



(1) Nella dimostrazione di questa (10/ si è veramente supposto n>2; infatti per n^3 il valore di p 

 risulta, come già si osservò (ultima nota al n" 3), non più dalla definizione generale, ma da una con- 

 venzione. È tuttavia molto facile il riconoscere che anche se n^3 la (10/ sussiste» 



