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RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



8. Caratteri della curva trasformata. — Per calcolare (rispetto al gruppo A*) 

 i caratteri virtuali k*, p*. D* della curva C* di 7*, trasformata della C di a me- 

 diante la trasformazione quadratica T (a,, a,, 03), basta nelle formole 



k* = M w* (n* + 3) - 2 >* (v* + 1) 



' A» ) 



f A* ' 



A* 



sostituire ai numeri «*, v* le loro espressioni date dalle (8), (8)'. 



Si trova subito 

 (9)... k*=k, p* = p, D* = Z). 



Colle stesse sostituzioni si riconosce che detto / il numero delle intersezioni di 

 due curve C', C" di g (rispetto ad A), numero definito dalla (7) , e detto /* il 

 numero coiTispondente relativo alle curve trasformate C*. C"* di a*, si ha 



(9) '... /*=/. 



Passiamo ora ai caratteri effettivi. Discende senz'altro dalla definizione che la 

 dimensione effettiva appartenente alla C* rispetto ad A* uguaglia la dimensione 

 effettiva appartenente a C rispetto ad A, ossia 



(10) ... Jc*=zk. 



Quanto al genere effettivo , per dimostrarne il carattere invariantivo , bisogna 

 esaminare come si comportino le curve C (d'ordine n — 3) aggiunte a C, nella tras- 

 formazione quadratica T. E qui conviene distinguere due casi secondo che i punti 

 fondamentali a,, a,, 03 di T hanno molteplicità superiori a per C, oppur no. Nel 

 primo caso si ha: 



y,> 0, Vj>0, V3> 0, 



e la curva aggiunta C che è d'ordine 



n' = M — 3, 



ha nei tre punti , a, , «3 le molteplicità 



v/ = V, — 1 , vJ = - 1 , v/ = V3 — 1 , 



(8 , (8/ quando si eseguisce una trasformazione quadratica. Allora se per trasformata di una curva 

 cornposia (di curve d'ordine 0, 1 ... ) si intende la curva formata dalle trasformate dello componenti, 

 ai riconosce che le formole (8), (S/ sono valide senza eccesioni per determinare l'ordine e le molte- 

 plicità della curva trasformata C* quando siano dati i corrispondnnti valori per la curva primitiva C ; 

 la trasformazione di cui si parla essendo quadratica (coi punti fondamentali cj, , Oj, Oj) 



Dopo l'estensione ora fatta della parola curva alle curve d'ordine risulta evidente che in una 

 trasformazione birazionale una curva composta in modo qualsiasi di più curve, si muta semijre in 

 una curva composta di altrettante curve (che sono le trasformate delle componenti). 



