DI GUIDO CASTELNUOVO 13 



è una forma di grado 2n — Vi — — V3 che, uguagliata a 0, ci rappresenta in a* 

 una curva passante (in generale) colle molteplicità 



V,* = w — Vj — V3 , Vj* = n — V3 — Vi , V3* = w — Vi — 



per i punti a,*, a*, «3*; questa curva (p = si dirà la trasformata di f=0. Se 

 poi tra i coefficienti di f stabiliamo quelle relazioni lineari che traducono le condi- 

 zioni di passare colle molteplicità v^, V5 . . . per i punti «4 , a^. . .aj,, queste rela- 

 zioni interpretate nel piano a* ci dicono che la curva op = è costretta a passare 

 colle molteplicità V4, Vg. . .v^ per i punti «4*, «g*. . .a^*. 



Adunque le curve C* trasformate delle C («, v)^ sono definite rispetto ad A* 

 dalVordine 



(8)... w* = 2w— Vi- Va — Va 



e dalle molteplicità 



^ l V* = M — Vj— Vg, Vj*=W — V3 — Vi, V3*=W— Vi — Vj 



I V*,. = Vi per « > 3 



wee punti a*, «j*, «3*, a,*; molteplicità virtuali, perchè in conseguenza delle con- 

 dizioni da esse imposte a C*, può la (7* esser costretta a passare con molteplicità 

 effettive superiori per i punti di A* (^). 



(1) A questo proposito è da notare che se la C (f~Q), la quale ha la molteplicità virtuale v, in a^ 

 viene effettivamente a passare colla molteplicità Vj -|-p, (pj^O) per il punto stesso, allora (e solo allora) 

 l'equazione ^=0 della C* acquista il fattore , per modo che nella C* entra il lato a^* a^* con- 

 tato p, volte. 



Così se la C in conseguenza delle condizioni imposte da A viene a spezzarsi 



1) nel Iato o^^s contarsi <7^ volte curva d'ordine colle molteplicità 0, Cj, (Jj, in «j, 

 «2, «SI «,) 



2) e in una curva d'ordine n — colle molteplicità Vj, — Oj, Vg — a^, v,- in a^, a^, a^, a., 

 la curva C* trasformata della C (coincide colla trasformata di C^ e) serbando ancora l'ordine 

 n* = 2n — Vj — — Vg , e le molteplicità v.^* Vg*, v^.* (date dalle (8/) in Oj*. ag*, a,*, viene però a 

 passare coiia molteplicità effettiva •■'i + '^i punto a*. 



Ora, questa relazione tra la C che degenera nelle curve 1) e 2) e la trasformata C* che acquista 

 in a^* una molteplicità effettiva superiore a quella data dalle (8/ si potrebbe esprimere con una lo- 

 cuzione appropriata. Perciò basta notare che se alle curve 1) e 2) applichiamo le (8) ed (8/ senza 

 badare al loro significato geometrico, troviamo come trasformate le curve 



1) * d'ordine colle molteplicità virtuali — o-j , 0, 0, in ai*, a^*, a^*, a*^; 



2) * d'ordine n*=:2w — v, — — Vg colle molteplicità virtuali Vi* + ^i, vj* Vg* v.* in a^*, a^* 



Diremo adunque che la curva trasformata C* (la quale ha l'ordine -\- n*=.n* e nei punti ora 

 nominati ha le molteplicità virtuali — u, + (vj* -|- u,) r= Vj*, O + v^* — v^*, + v3* = v3*, + v.*r=v^.*), 

 è l'insieme delle curve 1)* e 2)*. 



E piiì in generale: Quando una curva d'ordine n, alla quale è imposta la condizione di passare 

 colla molteplicità •■> per un punto a, acquista in esso punto la molteplicità v-|-t, si può dire che la curva 

 si scinde in una curva d'ordine n che in a ha la molteplicità virtuale » + e in una curva d'ordine 

 che ha in a la molteplicità — a. 



Questa locuzione è d'accordo con ciò che nel n° 5 si dice riguardo all'ordine e alle molteplicità 

 di una curva composta. 



Alle curve d'ordine si possono estendere le definizioni di caratteri virtuali date già mediante 

 le formolo (1), (3), (4), (7) per le curve d'ordine superiore , convenendo che per tali curve il genere 

 effettivo e la dimensione effettiva valgano 0. Ed alle curve d'ordine si possono applicare le formolo 



