12 RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



(il quale quando per C, C" valgono le ipotesi fatte nel n° 4 per le due curve C, 

 dà effettivamente il numero dei punti comuni C", C" che non sono assorbiti dai punti 

 (li A). In qualche caso I può anche risultare negativo e allora le due curve C, €" 

 hanno infiniti punti comuni ; se C e C" coincidono, / diventa il grado D apparte- 

 nente a C. Talvolta volendo indicare il numero delle intersezioni di C, C" scrive- 

 remo C. C" anziché I, mentre con C'+C" indicheremo la curva formata da C' e C". 

 Dalla (7) segue subito l'uguaglianza 



Co.{C, + C, + . . . + Q) = Co.C, + Co.C, + . . .-hCo.a. 



7. La curva C iu relazione con una trasformazione birazionale. — Le pro- 

 prietà dei sistemi lineari studiate nel presente lavoro appartengono a quella Geome- 

 tria il cui gruppo di trasformazioni fondamentali si compone delle trasformazioni 

 birazionali (o Cremoniane) del piano. Perciò importa anzitutto di esaminare come , 

 definita nel piano a una curva C rispetto ad un gruppo A, e trasformato il piano 

 (7 in (7* mediante una determinata trasformazione birazionale T, si possa in a* de- 

 finire rispetto a un certo gruppo A* la curva C* in cui C si muta. Solo quando 

 sarà chiarito questo punto , si potrà discorrere dei caratteri di C*. 



Dei punti fondamentali di T in 7 alcuni forse saranno scelti entro ad A, altri 

 potranno essere esterni ad A; con questi ultimi punti (ai quali attribuiremo molte- 

 plicità nulle) e con A formiamo un gruppo A rispetto al quale C è completamente 

 definita (n° 5, 6). 



Come gruppo A'" {corrispondente ad A) nel piano trasformato a* assumiamo 

 il gruppo composto dei punti fondamentali di T in a*, e dei punti in cui si mvr- 

 tano i punti di A che non sono punti fondamentali in a. La curva C* trasfor- 

 mata di C sarà definita rispetto ad A*, quando di 0* si conoscano l'ordine e le 

 molteplicità virtuali ( ^ 0) nei punti di A*. Nel fare questa ricerca posso però li- 

 mitarmi al caso delle trasfomazioni quadratiche, essendo noto che il prodotto di un 

 numero finito di tali trasformazioni , convenientemente scelte , può condurre ad una 

 qualunque trasformazione birazionale. 



Sia dunque T una trasformazione quadratica ed , «j , , siano i punti fon- 

 damentali di questa trasformazione in 7; le molteplicità virtuali ( ^ 0) di C in a„ 

 ai, «3, siano y,, Vj , V3. Indichiamo poi con a* , a,*, o,* i punti fondamentali 

 della trasformazione in 7*. e con a* > 3) il punto trasformato di Ora se 



è nel piano 7 l'equazione di una curva d'ordine n, la quale soddisfa alle condizioni 

 di passare colle molteplicità v, , v,, V3, per i punti aj, «j, a,, e nella f al posto 

 delle X sostituiamo loro espressioni quadratiche nelle y atte a rappresentarci la tras- 

 formazione T, otteniamo una equazione del tipo 



r;' Y,'^ y,,, 2/3) = 0, 



dove l'i^r 0, Fj= 0, ¥3=^0 sono le equazioni dei lati del triangolo ai* a* a *, e 9 



