DI GUIDO CASTELNUOVO 



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I numeri k, p, D, k, p finora introdotti, i quali godono speciale importanza 

 nello studio di un sistema lineare, si diranno caratteri del sistema [C], oppure ca- 

 ratteri della curva C rispetto al gruppo A. I tre primi che sono definiti mediante 

 equazioni, sono caratteri virtuali Essi non sono indipendenti fra loro, perchè dalle 

 (1), (3), (4) segue subito la relazione 



(5) ... D=k+p-l. . 



Insieme a questa è utile tener presente anche l'uguaglianza 



(6) ... 3w — 2v = k — p+1, 

 che si deduce facilmente dalle (1) e (3). 



5. Curve composte. — a) Finora abbiamo considerato la curva C indipendente- 

 mente dalle curve che possono costituirla, quando essa è riduttibile. Ora invece vo- 

 gliamo fissar la nostra attenzione sulle componenti di C. 



Due curve (semplici o composte) C"(«', v')^,, C"(w", v")^,/ siano definite mediante 

 i loro ordini e le loro molteplicità virtuali (=1) nei punti dei gruppi A', A", i quali 

 gruppi possono aver alcuni punti (anche tutti) comuni. Se con A indichiamo il gruppo 

 composto dei gruppi A', A", la curva C formata da C", C" avrà l'ordine n' + n" e 

 (per convenzione) in un punto di A la molteplicità virtuale v', v" o v'+v", secondo 

 che quel punto appartiene soltanto ad A' soltanto ad A", o tanto ad A' quanto ad A". 

 Il sistema [C] si dirà composto dai sistemi [C], [C] e si potrà definire mediante 

 il simbolo {n' + n", v' + v")^ purché si convenga che v' valga per ogni punto di A" 

 non contenuto in A', e analogamente per y". Siamo quindi indotti a considerare la 

 curva C' come definita mediante la sua molteplicità virtuale in ogni punto a di A , 

 molteplicità che supera se a appartiene ad A', e uguaglia se a non è contenuto 

 in A'; e come caratteri di C rispetto ad A assumiamo i caratteri di C' rispetto 

 ad A'. 



b) La stessa estensione ci conviene di fare in molti casi per la curva C definita 

 al n° 1. Kiferendoci a quel numero, se coi punti di A e con altri punti scelti ad 

 arbitrio nel piano formiamo un gruppo A noi diremo che C è definita rispetto 

 ad A quando sono noti l'ordine di Q e le sue molteplicità virtuali in ogni punto 

 di A (molteplicità le quali valgono per ogni punto di A esterno ad -4). 1 caratteri 

 già definiti di C rispetto ad A saranno anche detti caratteri di C rispetto ad A ^\ 



6. Intersezioni di due curve. — Riprendiamo le due curve C"(«', v')^, C"(w", v")^; 

 per numero delle intersezioni di C", C" rispetto ad A, si deve intendere il numero 



(7) . . . / = «V'-^v'>" 



(1) Si potrebbe anche definire il grado effettivo di un sistema; ma questo nuovo carattere non 

 ha l'importanza che spetta a A e p e non viene mai adoperato nel seguito. 



(2) Le curve C\ C" (o i corrispondenti sistemi) si diranno confponenti di C (o di [^7]) e si aggiun- 

 gerà l'aggettivo complementari^ quando si vorrà tener conto del fatto che insieme essi costituiscono C. 



(3) Va notato che le somme, le quali figurano nelle formole (1 , (3), (4) non mutano valore se 

 sono estese a tutti i punti di A, anziché ad A. 



