"IO RICERCUE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



Se k' sono la dimensione effettiva e virtuale del sistema aggiunto d'ordine 

 n — 3 rispetto al gruppo A', i due numeri 



p = ìJ+l, p^k'+l 



saranno detti genere effettivo e virtuale del sistema [C] (o della curva C) rispetto al 

 gruppo A. 



Il genere effettivo j) di C e dunque il numero delle curve d'ordine n — 3 

 aggiunte a G (rispetto ad A) che sono linearmente indipendenti ; mentre per la (1) 

 il genere virtuale p è definito dall'eguaglianza 



(3)... V=l^]{n-l){n-2)-'^v{.-ì)\^W. 



Dal n° 2 segue subito: Il genere virtuale non ptiò mai superare il genere 

 effettivo ; il genere effettivo è almeno zero (quando non esista curva aggiunta d'ordine 

 n — 3) ; il genere virtuale può invece assumere valori negativi (~). 



4. Grado. — Se in [(7] esistono due curve, le quali non abbiano infiniti punti 

 comuni e passino per i punti di A con molteplicità effettive uguali alle corrispondenti 

 molteplicità virtuali , il numero delle intersezioni di queste due curve che non sono 

 assorbite dai punti di A, è dato da 



A 



e si chiama (seguendo il sig. Jung) (3) grado del sistema [C]. Ma noi, estendendo il 

 significato della parola, chiameremo grado di [C] il numero definito dalla (4), qua- 

 lunque particolarità presenti il sistema [C], anche quando il grado non abbia più 

 una interpretazione geometrica. Così in qualche caso potrà risultare D negativo ; se 

 D<0 è certo che o il sistema [C] si compone di una sola curva, o due qualsivo- 

 gliano curve di [C] hanno infiniti punti comuni; ma viceversa da queste ipotesi non segue 

 necessariamente 2)<0. Qualche volta, anziché parlare del grado D di un sistema 

 [C], ci riuscirà più comoda la locuzione grado D appartenente alla curva C rispetto 

 al gi'uppo A. 



(1) Veiamonte, badando alla (1), si dovrebbe scrivere anziché A sitto al simbolo 2; ma è evi- 

 dente che la somma S non muta quando venga estesa anche a quei punti di A che non entrano in A' 

 (per i quali è v = 1). 



(2) Un esempio di curva per cui p è negativo è offerto dalla curva del quinto ordine composta 

 di una cubica generale e di due rette, purché il gruppo A si consideri costituito dai sette punti doppi ; 

 8Ì ha infatti p = — 1. 



Si osservi che la definizione di genere effettivo perde il suo significato quando n^3. Si conviene 

 che in questa ipotesi il genere effettivo valga sempre zero, fatta eccezione per il caso n = 3, quando 

 le molteplicità (virtuali) di C nei punti di A non su|)erano 1. 



(3) In quasi tutti i lavori sui sistemi lineari si considerano soltanto quelle intersezioni di due curve 

 del sistema che mutano col variare delle curve. Invece il sig. Jung (come lo prova la definizione qui 

 riportata) include fra le D intersezioni quei punti fissi comuni a tutte le curve del sistema, che si 

 presentano in forza delle condizioni imposte dai rimanenti punii baso, e ciò viene espressamente notato 

 nelle citate Memorie del sig. Jung. In questa avvertenza si trova già un passo verso la introduzione 

 dei caratteri virtuali. 



