DI GUIDO CASTELNUOVO 



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2. Dimensione. — Se le — = 2 S ■'■^ condizioni imposte dal 



I A 



gruppo A ad una curva d'ordine n fossero indipendenti fra loro, per 



(1) ... k=M«(«+3)-2j^(i^+l) 



punti fissati ad arbitrio nel piano passerebbe una curva determinata di [C]. 



Il numero k definito dalla (1) sarà detto dimensione virtuale di [C], mentre 

 il nome di dimensione effettiva sarà riserbato al numero k dei punti arbitrari del 

 piano, per i quali in realtà passa una, ed una sola curva di [C]. La dimensione 

 virtuale di un sistema lineare non 'può mai superare la dimensione effettiva ; la 

 differenza 



(2) . . . s = - k 



dà il numero di quelle tra le + equazioni (traducenti le condizioni im- 



A 



poste da A), che sono conseguenza delle rimanenti. Se chiamiamo sovrabbondante un 

 sistema lineare la cui dimensione effettiva Jc superi la dimensione virtuale k , sarà 

 naturale di chiamare s la sovrabbondanza del sistema. Quando s~0 ossia k = ^, 

 diremo che il sistema è regolare. 



Se esiste una sola curva C soddisfacente alle condizioni imposte da A , la di- 

 mensione effettiva del sistema [C] vale ; per estensione di linguaggio diremo che la 

 dimensione effettiva vale — 1 quando non esiste curva soddisfacente alle nominate 

 condizioni. Sotto il limite — 1 la dimensione effettiva non può scendere, mentre la 

 dimensione virtuale può assumere anche ' valori più bassi (1). 



Qualche volta anziché dire dimensione effettiva virtuale del sistema [C], diremo 

 dimensione effettiva virtuale appartenente alla curva C (rispetto al gruppo A). 



3. Curva aggiunta, genere. — Se si indica con A' il gruppo formato da quei 

 punti di le cui corrispondenti molteplicità (virtuali) v superano uno, per curva 

 aggiunta al sistema [C], alla curva C rispetto al gruppo A, deve intendersi una 

 curva che passi colla molteplicità virtuale v — 1 per ogni punto di A! multiplo se- 

 condo V per C (2), Le curve aggiunte a C di uno stesso ordine m formano adunque 

 un sistema lineare [C] la cui curva generica sarà indicata con G'{m, y — l)^-; il 

 sistema [C"] si dirà sistema aggiunto a [C] di ordine m. 



In seguito avremo da considerare quasi esclusivamente il sistema delle curve 

 aggiunte a C d'ordine % — 3 ; quindi parlando di curva aggiunta di sistema ag- 

 giunto a C, sarà sottinteso d'ordine n — 3, quando n sia l'ordine di C. 



(1) Per il fascio di quartiche piane, includendo in A i sedici punti base, si ha, ad esempio, 



A = l, k = -2. 



(2) Si badi che la definizione qui data di curva aggiunta e di genere coincide colla ordinaria sol- 

 tanto quando A contenga tutti i punti multipli di C, e di più in ciascuno di questi la molteplicità 

 effettiva uguagli la molteplicità virtuale. 



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