RICERCHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



E chiudo questa lunga prefazione, augurandomi che un campo così fecondo di 

 ricerche trovi numerosi e valenti cultori : questa Memoria avrà raggiunto il suo scopo, 

 se avrà in qualche punto appianato ad essi la via. 



CAPITOLO I. 



Sistemi lineari in relazione con un gruppo di punti. 



1. Sistema lineare. — Assegnati nel piano h punti «i, aj... disposti 

 comunque (a distanza finita o infinitesima l'uno dall'altro, legati mediante curve. . .), 

 le condizioni affinchè una curva d'ordine n passi con molteplicità assegnate (^1) 



V, , Vj. . . Va per i punti a, sono traducibili in ^^——^ — ^ equazioni lineari (forse non 



ji(« + 3) 



tutte indipendenti) fra gli parametri da cui dipende l'equazione della curva. 



Ad ogni soluzione delle nominate equazioni corrisponde una curva del sistema lineare 

 definito dai punti a (e dalle molteplicità v) ; alla soluzione generica corrisponde la 

 CUI- va generica C del sistema, che si indicherà con C{n, y)^ quando si vorrà tener 

 conto del suo ordine e del suo modo di comportarsi nei punti a. Il gruppo formato 

 dai punti a si indicherà con A; il sistema lineare con [C]; e si dirà che i numeri 

 Il e V definiscono C o [C] rispetto al gruppo A (^). 



Non avendo noi posta alcuna restrizione alla posizione dei punti a, nè ai valori 

 delle V, segue che la curva generica C di [C] (quando pure esista qualche curva 

 soddisfacente alle condizioni imposte da A) , può presentare le più svariate partico- 

 larità; può scindersi in più curve (come ad es. avverrebbe se fosse Vi+Vj>n), può 

 passare (anche più volte) per qualche punto del piano che non si trovi in A eppure 

 riesca comune ad ogni curva di [C] , può finalmente passare più che , Vj . . . volte 

 per i punti «, , «j. . ., e ciò soltanto a cagione delle condizioni imposte dai punti 

 di A; (così la curva C deve passare doppiamente per ai se, essendo Vi = l, v, = 1, 

 V3 = 1 i punti a, , «3 sono infinitamente vicini ad a, su direzioni distinte). Anche in 

 quest'ultimo caso noi però continueremo a dire che Vi , v,. . . sono le molteplicità 

 {virtuali) di C? in a, , «j . . . ; e chiameremo molteplicità effettive di C in Oi, a^,. .. 

 quelle con le quali C viene a passare per Oj. . ., quando soddisfa a tutte le con- 

 dizioni imposte dal gruppo A. 



(1) Quando alcuni dei punti a si considerano infinitamente vicini fra loro, si viene a pensare il 

 gruppo A come limite di un gruppo variabile di cui alcuni elementi prima distinti sono andati avvi- 

 cinandosi indefinitamente. Si può così definire un sistema lineare che abbia in punti fissi singolarità 

 arbitrarie come limite di un sistema lineare avente nei punti base soltanto singolarità ordinarie. 



È da notarsi che i sistemi lineari definiti in questo n" 1 sono quelli che possono dirsi determi' 

 nati dai punti base ; di questi soli però mi occupo nel seguito. 



