DI GUIDO CASTELNUOYO 



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Molte altre applicazioni del sistema aggiunto puro ho dovuto rimandare ad altri 

 lavori. Voglio però accennar qui alle principali. 



La prima che si presenta consiste nell' assegnare alcune proprietà caratteristiche 

 dei sistemi sovrabbondanti, le quali danno una via per costruire siffatti sistemi. In 

 particolare si trova subito che se in mi sistema oo" di genere p (non iperellittico ) 

 tma tra le condizioni imposte dai punti base è conseguenza delle rimanenti, esiste 

 una curva fondamentale di genere (virtuale = effettivo) uno, la quale contiene tutti 

 i punti hase del sistema. 



Una seconda applicazione può farsi allo studio di quei sistemi la cui curva ge- 

 nerica contiene una data serie speciale (solo di un caso particolare del problema trat- 

 tano i §§ 31, 32). 



Finalmente una terza applicazione consiste nel valersi del sistema aggiunto puro 

 per costruire e classificare i sistemi lineari di dato genere. Infatti, se di un sistema 

 dato S si forma il sistema aggiunto puro S' , di S' il sistema aggiunto puro S\ e 

 così si continua, si ottiene una catena di sistemi 8', S" . . . necessariamente finita (per- 

 chè l'ordine va diminuendo di almeno tre unità per volta) ; e ciascuno di questi si- 

 stemi è invariabilmente collegato con S : sicché i generi p, p". . . di ^S*', S". . . sono 

 altrettanti caratteri invariantivi di S che possono servire a distinguere S dagli altri 

 sistemi di genere p (1). 



E pure osservato al § 29 che p <Z p — 1 se la dimensione di S supera p + 1 : 

 ciò permette quando si sappiano costruire tutti i sistemi di genere p' e dimensione 

 p — 1 ,>p', di costruire tutti i sistemi di genere p>j)' + 1 e dimensione >p -\- l. 

 Non possiedo però ancora completamente i criteri che permettono di distinguere tra 

 i nominati sistemi oo^-* quelli che sono aggiunti puri di un certo altro sistema, da 

 quelli che non godono tale proprietà. E perciò preferisco di rimandare ad altro 

 momento la risoluzione dell'importante problema. 



lendo giungere ai teoremi dei §§ 31, 32 nel modo piii semplice , è forse preferibile seguire una via 

 analoga a quella che indicai nella Nota s\i\\& Massima dimensione.. . Colà, dato un sistema S di ge- 

 nere p e dimensione h, se ne deriva (sotto certe restrizioni) un sistema 5' di genere p' —p — le 

 dimensione k' = k — 3 formato dalle curve di S che passano doppiamente per un punto fissato ad 

 arbitrio nel piano ; e questa derivazione si continua finché non si sia giunti ad un sistema di genere 2 

 e dimensione k~-3 [p — 2), per il quale si conosce il limite superiore 11 alla dimensione, ecc. Se 

 invece si considera il sistema costituito dalle curve di 5 che hanno un punto triplo in un punto ge- 

 nerico del piano, sarà (sotto convenienti restrizioni) pi=p — 3, ki — k — 6; applicando successiva- 

 mente l'operazione analoga fino ad ottenere un sistema di genere 2 o 3 , e calcolando per questo il 

 valore massimo della dimensione, si avrà un limite superiore a h. Ed analogamente se invece che un 

 punto triplo, si fissa un punto quadruplo... In ciò che ora ho detto, il lettore non cerchi che un 

 semplice abbozzo di dimostrazione. 



(1) Per esempio per i sistemi noti di genere 3 e dimensione ^3 (Jdng, Mem. citate; Nother, Ueber 

 die rationale Fldchen vierter Ordn. Math. Annalen Bd. 33; v. inoltre la mia Nota citata Sulle super- 

 perficie algebriche le cui seìioni sono curve di genere 3), si hanno i seguenti tipi (le lettere entro a 

 parentesi quadre indicano i punti fondamentali secondo la solita convenzione; i numeri chiusi entro 

 i segni j j danno i generi dei successivi sistemi aggiunti puri): 



oo» C [flS bi^... ègS] I 2, { ; oos [a,s . . . Og» è^ci] J 2, 1 { . 



Una analoga classificazione può estendersi anche alle superficie non razionali a sezioni di dato 

 genere, servendosi del sistema S' di curve segato sulla superficie dalle superficie aggiunte d'ordine 

 n — 3 (essendo n l'ordine della superficie), ecc. 



