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RICERCHE GENERALI SOfRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



derazione che mi indusse ad esporre in due lunghe note (ai §§ 14, 15) alcuni 

 teoremi complementari a quelli che si trovano nel testo, sebbene non necessari per 

 il secondo capitolo. 



Il secondo capitolo, ben più del primo, può dare una idea dei legami fra la 

 Geometria sulla cuna e la teoria dei sistemi lineari. I due enti che permettono di 

 tradurre i risultati dell'una teoria nei risultati dell'altra, sono : la serie caratteri- 

 stica (ossia la serie di gruppi segata sopra una curva del sistema dalle rimanenti 

 curve), ed il sistema aggiunto (locuzione colla quale brevemente indico il sistema co- 

 stituito dalle curve d'ordine n - 3 aggiunte alla curva generica, supposta d'ordine n, 

 del sistema primitivo). Quanto alla serie caratteristica, della quale già il Segre aveva 

 approfittato, come dissi sopra, non rimaneva che a seguire la via tracciata; il pi-o- 

 fitto che se ne può trarre mi sembra sufficientemente dimostrato dai §§ 18, 19, 20, 

 sebbene molti risultati che ad essa si collegano non abbiano potuto trovar posto in 

 questa Memoria. Ma l'applicazione metodica del sistema aggiimto nella teoria dei si- 

 stemi lineari, serve veramente a caratterizzare il mio lavoro, perchè negli scritti pre- 

 cedenti, a quanto mi pare, non se ne fa parola (^). 



Per giudicare l' importanza del nuovo concetto basterà confrontare i teoremi ge- 

 nerali sulle curve fondamentali qui dati (§§ 23, 24) coi risultati particolari che prima 

 si avevano (~), l'applicazione che di questi teoremi si fa ai sistemi sovrabbondanti 

 con nove o dieci punti base (§ 26), e le varie proposizioni sul sistema aggiimto puro 

 (§ 27 e segg.). Con tale locuzione intendo il sistema aggiunto spogliato dalle curve 

 fisse che possono eventualmente esser comuni ad ogni curva aggiunta d'ordine «-3 

 (v. per la definizione precisa il § 27). Ora, la grande importanza del sistema aggiunto 

 puro sta in ciò, che esso è legato al sistema primitivo da una relazione invariantiva 

 per trasformazioni birazionali: sicché ad es. il genere della curva generica del sistema 

 aggiunto puro è un carattere invariantivo del sistema proposto. Quale intima rela- 

 zione passi fra questo genere e V eccesso di un sistema lineare definito dal sig. Jung 

 (Mem. citate), mostrerò altrove. Qui mi parve importante di stabilire una disugua- 

 glianza che lega i caratteri di un sistema col genere del sistema aggiunto puro (§§ 29, 

 30), dalla quale scendono teoremi molto notevoli sulla curva generica di un sistema 

 lineare, la cui dimensione supera una certa funzione del genere (§ 31 e seg.) (3). 



(1) Va fatta eccezione per una breve Nota del eig. S. Kantor {Sur une théorie des courbes et des 

 surfaces odmettanl des correspondances univoques, Comptes-rendus de l'Ac. d. Se, 9 février 1885), 

 in cui si mostra come il sistema aggiunto, l'aggiunto dell'aggiunto possano applicarsi allo studio 

 delle trasformazioni birazionali cicliche del piano. Sebbene a qualche considerazione di quella >iota 

 si possano forse muovere degli appunti, sembra tuttavia indiscutibile la fecondità del concetto ivi esposto, 

 il quale, a quanto scrive il K. nella prefazione ai Premiers fondements pour une ihéorie des transfor- 

 maiions pérwdiques univoques (Alti dell'Accad. delle Scienze fis. e mat. di Napoli, 1888), troverà il 

 suo pieno sviluppo nella 4* parte della Memoria stessa, ora in corso di stampa negli Atti di quella 

 Accademia. 



(2) Caporali, Sopra i sistemi lineari (CoUectanea Mathematica, 1881); Bertini , Sulle curce fon- 

 damentali dei sisteìvi lineari (Rendic. Circolo Matem. di Palermo, t. III). 



(3) I teoremi a cui alludo costituiscono una estensione di una proposizione dimostrata nella mia 

 Is'ota già citata sulla Massima dimensione. . . : Ogni sistema lineare la cui dimensione superi 3p+5, 

 si compone o delle cx>'' cubiche piane (p 1) o di curve raiionali (prrO). Ho pensato che una tale 

 estensione potesse trovar posto in questo lavoro poiché essa si presentava come una conseguenza 

 immediata della formola (23), la quale sembra fondamentale nella teoria dei sistemi lineari. Però vo- 



