DI GUIDO CASTELNUOVO 



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due nominate teorie. Perciò mi sono prefisso di porre in maggior rilievo questa con- 

 nessione , e di mostrare con alcune applicazioni il partito che si può trarre dalla 

 Geometria sulle cui've nello studio delle proprietà generali dei sistemi lineari : e così 

 è sorto il presente lavoro. Quali concetti mi abbiano guidato, in quale ordine li abbia 

 svolti, è ciò che ora dirò. 



Il primo capitolo è una semplice introduzione allo studio dei sistemi lineari. 

 Per ottenere teoremi generali sui sistemi lineari, per evitare distinzioni ed eccezioni, 

 vidi la necessità di dare la massima estensione (per curve semplici e composte) ad 

 alcuni noti concetti di Geometria sulle curve. Un semplice esempio basterà per mo- 

 strarne l'opportunità. 



Siano &j , 6., . . b^^ i dieci punti in cui una quartica piana C dotata di un 

 punto doppio a viene segata da una cubica y condotta per a ; si riconosce allora che 

 le quartiche passanti doppiamente per a e semplicemente per . . . b^Q formano una 

 rete; sicché delle 13 condizioni imposte alle quartiche dai punti base a, b^, h^...h^^ 

 una è conseguenza delle rimanenti, e ciò dipende dal fatto che la curva y ha il ge- 

 nere uno. Volendo esprimere questa riduzione nel numero delle condizioni, diremo che 

 una tal rete di quartiche è sovrabbondante. Ora, è da notarsi che ad una rete so- 

 vrabbondante di quartiche si arriva ancora quando si prenda per curva 7 (anziché una 

 cubica generale) una cubica dotata di un punto doppio., purché questo punto doppio non 

 cada sopra la quartica C. Se invece la quartica primitiva C si sega con una cubica 

 passante doppiamente per a, nel qual caso si hanno, oltre ad a, 8 intersezioni by . . 6g, il 

 sistema 00^ di quartiche che passano doppiamente per il punto a, e semplicemente per b^...b^ 

 non è più sovrabbondante : le condizioni che i punti base a, 6j . . . 6g impongono 

 alle quartiche sono tutte indipendenti fra loro. In modo alquanto vago, ma vantag- 

 gioso, si può dire che il carattere ellittico di y rispetto al sistema lineare, non viene 

 alterato quando y assume un punto doppio fuori dei punti base del sistema, ma in- 

 vece si perde quando il punto doppio di y cade in un punto base del sistema (1). 



Ma una tale considerazione non dà l'intima ragione della diversità dei due casi, 

 e perde anche la semplicità quando la cubica y si spezza. 



Si riesce invece a dare una completa spiegazione in questo caso ed in altri più 

 complicati , dimostrando come molte proprietà delle serie lineari segate sopra una 

 curva dalle sue curve aggiunte, permangano quando alle curve aggiunte si sostitui- 

 scano curve passanti per punti fissati ad arbitrio sulla curva primitiva. Questa os- 

 servazione fu già fatta dal sig. Nother , ed appunto la Memoria in cui essa è con- 

 tenuta, ed un altro lavoro dello stesso Geometra (^•) (in cui alle curve degeneri si 

 estendono proprietà delle curve irriduttibili ) sono i punti di partenza degli argomenti 

 trattati nel primo capitolo. I quali mi sembrano interessanti anche quando si faccia 

 astrazione dalle loro applicazioni ai sistemi lineari, così che ritengo farebbe cosa utile 

 alla scienza chi tentasse di procedere sulla via segnata. E fu appunto questa consi- 



(1) Nell'esempio ho scelto un punto base doppio per evitare la considerazione di punti base infì 

 nitamente vicini, la quale esigerebbe maggior cura. 



(2) Ueber die nicht-adjungirlen Curoen (Math. Annalen Bd. 15). 

 Veber die reductiblen algebraischen Curven (Acta Mathem. , 8). 



