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RICEECHE GENERALI SOPRA I SISTEMI LINEARI DI CURVE PIANE 



lineare (inaugurate con un noto procedimento del sig. Nother (1), proseguite poi dai 

 sigg. Bertini, Guccia, Jung, Martinetti) (2). 



Dei notevoli servigi che questo metodo rese alla scienza basterà ricordare la 

 scomposizione di ogni trasformazione birazionale in fattori quadratici , la determina- 

 zione completa delle superficie a sezioni razionali, e la classificazione delle trasforma- 

 zioni involutorie del piano (e dei corrispondenti piani doppi). La riduzione all'ordine 

 minimo valse pure ad assegnare, in corrispondenza ai primi valori del genere , tutti 

 i sistemi lineari minimi possibili, e permise di leggere sui tipi ridotti proprietà che 

 poi si estendevano ai tipi trasformati. Lia le difficoltà della riduzione che andavano 

 crescendo col crescere del genere, la varietà e la complicazione sempre maggiore dei 

 tipi ridotti, lasciavano ben capire che non era quella la via più appropriata per ot- 

 tenere proprietà generali dei sistemi lineari ; per lo studio di un sistema lineare lo 

 abbassamento d'ordine riesce poco vantaggioso (in generale) quando esso porti di 

 conseguenza una complicazione nella natura dei punti base (3). 



Bisognava quindi (imitando ciò che si è fatto in tutte le altre Geometrie) cercare 

 un metodo, il quale potesse nolV identico modo applicarsi a più sistemi identici dal 

 punto di vista delle trasformazioni birazionali. E si presentava spontanea l'idea di 

 ricorrere al sussidio della Geometria sopra una curva, i cui teoremi (così importanti 

 per la loro generalità) si applicano appunto nell' identico modo a tutte le curve tras- 

 formate univoche di una stessa, senza tener conto delle particolari proprietà proiettive 

 che quelle possono presentare. Già quattro anni or sono, il sig. Segre aveva accennato 

 ai vantaggi che la teoria dei sistemi lineari può risentire dalla Geometria sulla curva, 

 mostrando in una breve Nota (^) come un teorema dimostrato dal sig. Guccia per si- 

 stemi lineari particolari, rientrasse in un teorema generale, il quale discendeva imme- 

 diatamente da una proprietà delle serie non speciali. Ed in alcune ricerche da me 

 fatte su certe famiglie di superficie razionali, come pure in una Nota suUa massima 

 dimensione di un sistema lineare (^), mi apparve evidente l' intima connessione fra le 



(1) Zur Theorie der eindeutigen Ebenentransformationen (Math, Annalen Bd. 5). 



(2) Bertini, Ricerche sulle trasformazioni univoche involutorie nel piano (Annali di Matem., serie 2^, 

 tomo 8}. 



Guccia, Generalizzazione di un teorema di Nother; Sulla riduzione dei sistemi lineari di curve 

 ellittiche (Rendic. Circolo Matem. di Palermo, t. I). 



Jdng, Ricerche sui sistemi lineari (ia due Note nei Rendiconti dell'Istituto Lombardo, marzo 87, 

 e maggio 88, e in due Memorie pubblicate nei tomi XV e XVI, serie II, degli Annali di Matematica). 



MARTiNETTr, Sui sùtomi lineari di genere i (Rendic. Ist. Lombardo, marzo 87). — Sopra alcuni 

 sistemi lineari di genere 2 ;Rendic. Circolo Matem. di Palermo, t. I). 



(3) Se per la ricerca di proprietà generali dei sistemi lineari di genere elevato, la riduzione al- 

 l'ordine minimo può talvolta riuscire inefficace , si potrebbe però ritenere conveniente di fondare 

 sopra di essa una classificazione dei sistemi lineari di dato genere. Ora, di una tale classificazione 

 furono recentemente rilevati gli inconvenienti (v. una Nota del sig. Segre alla mia Memoria Sulle 

 superficie algebriche li cui sezioni sono curve ip er ellittiche ; Rendic. Circolo Matem. di Palermo, t. IV) 

 che vengono certo attenuati, ma forse non interamente tolti, mediante il concetto di sistemi associati 

 proposto dal sig. Jung {Delle famiglie associate, Rendic. Circolo Mat., t. IV). 



(4) Sui sistemi lineari (Rendic. Circolo Mat. di Palermo , t. I); il teorema a cui alludo si trova 

 riportato nel § 19 della presente Memoria. 



(F)) Sulle superfìcie le cui sezioni sono curve iperellitliche (i. e); Sulle superficie le cui sezioni sono 

 curve di genere 3 (Atti dell'Accad. delle Scienze di Torino, voi. XXV); Massima dimensione dei si- 

 stemi Itneari di curve di dato genere (.\nnali di Matematica, t. XVIII, serie 2*). 



