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LE CORRISPONDENZE PKOJEl'TIVE 



ed in generale uno solo, elemento che chiamo polo degli n — 1 a cui corrisponde. Un 

 gruppo di n — 2 elementi, ciascuno diana di n — 2 delle F^\ evidentemente determina 

 tra gli elementi delle due rimanenti una corrispondenza biunivoca che dico polare degli 

 n — 2 elementi presi. Se tutte queste corrispondenze biunivoche polari sono projettive, 

 chiamo projettiva la data corrispondenza jz-univoca. Vi sono oo"-^ gruppi, ciascuno di n 

 elementi uno qualunque dei quali è polo dei rimanenti rispetto alla corrispondenza, 

 questi gruppi G„ costituiscono ciò che chiamo aggruppamento projettivo d'ordine n e 

 che indico con il simbolo Ap„ . Dimostro la esistenza di questi aggruppamenti projettivi 

 facendo vedere come si possono effettivamente ottenere. L'importanza del loro studio si 

 rende manifesta se si riflette che analiticamente essi sono rappresentati da una equa- 

 zione A _^(„) = a('^^(,) a^-^^(s) . . . a(")^(„)=0, lineare omogenea nelle coordinate ^/'^^ 

 x»^^ degli elementi generatori di ciascuna delle forme i^i'. 



Tutti gli AjJn, che appartengono alle n forme date Fi', sono oo-"-* e costitui- 

 scono un sistema fondamentale di specie 2" — 1 , Con aggruppamenti \p„ si possono 

 anche costituire dei sistemi fondamentali di specie v<2"— 1, sistemi che indico con 

 il simbolo S^_„ e che nel caso di v = 1 , v = 2 chiamo rispettivamente fasci e reti. 

 Se ^''^(1) ^(n)~0 , ^''^^(1) ^H = ^» •••'^'""^'^^(i) ^(.n) — ^ 1^ equazioni di v + 1 



aggruppamenti projettivi di ordine n, essi in generale individuano un sistema fonda- 

 mentale di specie v, al quale appartengono, che è rappresentato dalla equazione 



Nella geometria projettiva elementare si studiano gli aggruppamenti projettivi di 

 2° ordine Xp,, essi sono costituiti dalle coppie di elementi corrispondenti di due 

 forme projettive F^, F'. Tutti i possibili A^,, situati sulle stesse jP, , F/, sono oo* 

 e costituiscono un S3 2 . I fasci e le reti di Xp^ sono stati studiati da Stephanos (*) e 

 da Segre (**). L'aggruppamento projettivo di 3° ordine è stato studiato daAuGUST (***), 

 ScHUBERT (****), Le Paige FoLiE Castelnuoyo ecc. Nessuno 



però, clie io sappia, ha esplicitamente studiato gli aggruppamenti projettivi di ordine 

 n>3 ed i loro sistemi fondamentali. 



Due forme ^^'^^(s) • • • ^^"\(") » ' ' • '^^"\("ì posseggono un invariante 



simultaneo (a^'^ b^^'>) (a^*^ U-^) . . . (a^"^6^"^) che è lineare nei coefficienti di ciascuna e che si 

 può chiamare il loro armonizzante. Se esso è nullo le due forme si possono dii"e armo- 

 niche, e armonici i due aggruppamenti Aj/„ , Ajj'„ che esse rappresentano se si pon- 

 gono uguali a zero. L'armonia di due aggruppamenti Ap^„ , Aj;*„ è una proprietà 

 projettiva che li lega simmetricamente. Gli aggruppamenti projettivi armonici si possono 

 definire e studiare, come io faccio, con considerazioni puramente geometriche. Ogni 



(*) Mémoire sur la représentation des homographies hinaires par des poinls de V espace avec ap~ 

 plication à l'elude des rotations sphériques. Math. Annalen, Bd. XXII. 



(**) Note sur les homographies binaires et leurs faisceaux. Creile, Bd. 100. 

 (***) ne ■iuperficiebus lerlii ordinis. Diss. inaug. Berolini 1862. 



(*■***) Bie trdineare Besiehung zwischen drei einstufigen Grundgebilden. Math. Annalen, Bd. XVII. 

 Mémoire sur quelques applications de la théorie des formes algébriques. Mémoires couronne's 

 publiés par VAcad. royale des sciences de Belgique, tom. XLII, 1879. — Note sur V homographie du 

 troisième ordre. Bnlletin de VAcad. de Belgique, III serie, tom. V, 1883. 



(******) Le Paige et Folik. — Mémoires de l'Acad. de Belgique. tom. XLIII, 1882; t. XLV, 1884. 



(*******) Studio sulla omografia di seconda specie. Atti del R. Istituto Veneto, tom. V, serie VI. 



