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sistema „ ne individua un altro S., ,. , essendo y + >'=2"— 2, in modo che tutti 

 gli aggruppamenti di ciascuno sono armonici a tutti quelli dell'altro: due tali sistemi 

 li chiamo armonici. Un solo Ap„ è armonico a tutti quelli di un sistema S se 

 è v=2"— 2 . 



Gli aggruppamenti projettivi armonici di 2° ordine sono stati più volte studiati; 

 è con le loro considerazioni che Segre costruisce i fasci e le reti di Ap,. 



Fino a questo punto ho supposto, per semplicità, che le n forme i^,' siano 

 tutte distinte. Si possono però ritenere sovrapposte a gruppi ed anche tutte ad una 

 stessa Fi'. In questo ultimo caso esistono certi particolari aggruppamenti projettivi 

 di ordine n tali che n — 1 elementi qualunque della Fi, comunque si considerino 

 appartenenti ciascuno ad una di « — 1 delle forme ad essa sovrapposte, determinano 

 sempre uno stesso polo. Questi particolari aggruppamenti li chiamo, involuzioni x)ro- 

 jcttive di ordine n e di rango n—1 e li indico con il simbolo Ii?„,„_i . Analiticamente 



Ii'n,n-i si rappresenta annullando una forma simmetrica e lineare nelle n coppie di 

 variabili x^j'K si rappresenta cioè con una equazione della forma a (j)...a („)=0. 



Tutte le possibili Ip„,„_i , di una stessa Fi , sono oo" e costituicono un sistema 

 fondamentale di specie n. Tutti gli aggruppamenti di un sistema , individuato da 

 v+1 involuzioni I?)„,„_i sono pure involuzioni. Ogni sistema S,,^ di involuzioni Ip„„_i 

 ne individua un altro S,/ „ , essendo v + v'=w — 1, in modo che tutte le involuzioni 

 di ciascun sistema sono armoniche a tutte quelle dell'altro; due tali sistemi li chiamo 

 armonici. Una sola Ii)„,„_i è armonica a tutte quelle di un sistema S„_i_„. Se due involu- 

 zioni projettive rappresentate dalle equazioni a a (3)...a ^„^ = 0, b (,) J M.-.b („)=0 

 sono armoniche deve essere {a b)" = 0, e viceversa. 



Le involuzioni projettive di ordine « > 2 e di rango w — 1 , come io le chiamo, 

 sono state studiate da Thieme (*), da Wiener (**) e da altri, non spingendo però 

 molto avanti le ricerche su di esse. 



Giunto a questo punto suppongo che v^n involuzioni capaci di indi- 



viduare un sistema S,_, „ , abbiano sempre comune un gruppo , di i/ elementi reali 

 immaginari, e quindi uno solo, ciò che è notoriamente vero se v = 2 . Da questa 

 ipotesi deduco numerose proprietà e, supposto n'^ n + p , dimostro la esistenza di oo? 



gruppi Gr„/ comuni a n' — p involuzioni IjJ„/,„/_i , capaci di individuare un sistema H„, , ^. 



L'insieme di questi oc? gruppi 0,,/, cioè la intersezione delle n' — p date I^),,, , 

 è ciò che io chiamo involuzione projettiva di ordine n' e di rango p, involuzione 

 che indico con il simbolo Ip„,^^ . Una Ii?„',f si può rappresentare analiticamente con una 



equazione ),i ^'^ + \ + . . . + «a ^'"""'^ = ^ > essendo le forme a^ ('^ binarie 

 di grado n'. Le Ip,,/,^ sono state studiate da molti geometri e quindi sono note le 

 principali loro proprietà. 



L'ipotesi che io faccio, della quale ho sopra parlato, e tutte le conseguenze che 

 da essa deduco, restano poi dimostrate quando, fondandomi su di esse, dimostro che 



(*) Die Definition der geomelrischen Gebilde durch Construction ifirer Polarsysteme. Zeitschrift fur 

 Mathematik und Physik, Bd. 24. 



(**) Rein geomelrischen Theorie der Darslellung binar er Formen durch Punktgruppen auf der 

 Geraden. Darmstadf, 1885. 



