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LE CORRISPONDENZE PROJETTITE 



n + 1 Ip„+i,„, capaci di individuare un sistema S„ „^.i , hanno sempre un gruppo 

 comune G„+i , di n-\-l elementi reali o immaginari, e quindi uno solo. Su questo 

 teorema si può basare tutta una teoria puramente geometrica delle linee e delle su- 

 perficie algebriche, perchè esso sostituisce in geometria il teorema fondamentale del- 

 l'algebra. Cercherò di raccontare brevemente in qual modo sono riuscito a dimostrarlo. 



Supponiamo date n + 1 involuzioni iy„+i,„ , Ii>'„+i,„ , • • • i ^pI^\„^ capaci di 

 individuare un sistema S,, ,,^.! , allora n di esse, per esempio Ip'„+i_„ , . . ., ip"„+i „, 

 individuano un sistema S„_,_„+i le cui involuzioni hanno comuni gli oo^ gruppi G„^.i 

 di una Ii>„+i,i. Prendiamo poi un fascio S, „+i, di involuzioni proiettive di ordine 

 n — 1 e di rango n, che non appartenga a S„_i^„+i e contenga la Ogni in- 



voluzione del fascio Si,„+i non può avere più di un gruppo Gr„+i comune con la Ij^n+i, i , 

 e ogni gruppo G„+i della Ip„+ì^i appartiene ad una involuzione del fascio Si , e ad 

 una sola. Chiamiamo A gli elementi della .Fj che contiene le n + 1 date lp'„+i „ e 

 facciamo corrispondere projettivamente gli elementi generatori B di un'altra forma i<V 

 alle involuzioni del fascio Si „+,. Ogni elemento A della Fi appartiene ad un gruppo 

 G„+i della l2?„+i,i, e ad un solo, G„+i appartiene ad una involuzione del facio Si_ , 

 e ad una sola, alla quale corrisponde un elemento B della Fi , dunque ogni elemento 

 A della Fi individua un corrispondente elemento B della Fi', mentre inversamente 

 l'elemento B corrisponde a n + 1 elementi della Fi , cioè a tutti quelli del gruppo 

 G„+i della lp„+i i al quale appartiene ^. Se G è il gruppo di tutti gli elementi B 

 della Fi che corrispondono ad un elemento della Fi, tra gli elementi della Fi e di G 

 viene stabilita una corrispondenza [n + 1,1]. Se gli elementi, reaK o immaginari, 

 delle Fi , Fi si rappresentano , nel modo accennato , sui punti reali propri di due 

 sfere Ci , (7. , e se G è il gruppo dei punti della <7j che rappresentano gli elementi B 

 del gruppo G, abbiamo una corrispondenza [n + l,!] tra i punti A della Ti ed i 

 punti B del gruppo G della e, . Questa corrispondenza ha un numero finito di punti 

 uniti, perchè, come ho prima fatto vedere, una Ip„+i,i ha un numero finito di ele- 

 menti doppi. Posto ciò dimostro che la corrispondenza è continua , quindi deduco 

 immediatamente che come ^ è un punto qualunque della o-j , così 5 è un punto 

 qualunque della , deduco cioè che il gruppo G coincide con la o-j , per cui la sud- 

 detta corrispondenza + 1] ha luogo tra tutti i punti delle due sfere o-j, (*). 

 Ne segue che ad un punto qualunque B della t^ devono sempre corrispondere n + 1 

 punti A della o-, , e quindi ad un elemento qualunque B della Fi devono sempre 

 corrispondere ii + 1 elementi A della Fi , per cui una qualunque involuzione del fascio 

 Si „+i deve sempre avere un gruppo comune con la \]ì„^i i , ed in pai'ticolare la Ip^^,' ^ 

 deve avere un gruppo G„^.i comune con la Ip„+i,i, gruppo che evidentemente è comune 

 alle n + 1 date Ii/„+i,n- Il teorema fondamentale è così dimostrato. Accenno qui appresso 

 le principali conseguenze che ne traggo. 



(*) Per dedurre questa proprietà basta applicare il teorema: « Se è stabilita una corrispondenza 

 « [m, n] continua tra una sfera ""^ gruppo G di punti di una sfera a„, e se il numero dei 



« punti uniti è finito, G coincide con la . » (De Paolis, loc. cit., n. 34). La dimostrazione fornisce 

 una prova puramente geometrica del teorema •• « Nel campo di tutti i possibili numeri x, reali o no, 

 « una funzione algebrica f{x) può prendere un valore dato qualunque. » 



