DI RICCARDO DE PAOLIS 



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Una possiede sempre n elementi n-pli , e solamente «, tali cioè che ciascuno 



di essi contato n volte costituisce un gruppo della Ip„,„_i . Gli elementi n-pli della 

 iPn,n-i. costituiscono il gruppo comune a tutte le involuzioni armoniche rispetto ad essa, 

 involuzioni che, come abbiamo già detto, costituiscono un sistema S„_, „ armonico alla 

 ipn,n-i ■ Gli elementi n-p)li di una involuzione a a (jj ... « („) sono dati dalla 

 equazione a"^ = . 



Supponiamo che le n forme jPi" contenenti un dato Ap„ siano tutte sovrapposte 

 ad una stessa Fi , e supponiamo che per Ap„ non siano n-pli tutti gli elementi della 

 Fi . Allora è determinato un sistema S„_i_„ di involuzioni armoniche ad Ap„ , le in- 

 voluzioni di questo sistema sono tutte armoniche ad una stessa Ij?„ „_i , e ad una sola, 

 che è così individuata da Ap„ e che io chiamo involuzione n-pla di Ap„ , perchè 

 ogni elemento «-pio di Ap„ è anche elemento i^-plo della l2:'„,„_i, e viceversa. Ne 

 segue che un Ap,„ contenuto in una Fi , o possiede n elementi w-pli, e solamente n, 

 per esso è w-plo ogni elemento della Fi . Tutti i possibili A^„ per ciascuno dei 

 quali è 7;-plo ogni elemento della F^ costituiscono un Ss"_„_2 „ , che è quello armo- 

 nico al sistema S„^„ di tutte le possibili l2^„^„_i della F^. 



Le n forme F^ contenenti un dato Ap„ si sovrappongano a gruppi di m^, 

 rispettivamente ad altre r forme i^/ , i**/ , . . . , jF/, essendo quindi w?i+w?2+ • ■ • -^nì^—n. 

 Allora se prendiamo r — 1 elementi, uno di ciascuna di r — 1 delle jP/, per esempio 



t r— 1 



uno di ciascuna delle Fi , . . . , jP/ , essi contati rispettivamente , . . . , ììì^^ volte 

 costituiscono un gruppo di n — m,. elementi, tutti i gruppi di elementi della Ff 

 che insieme ad esso dànno un gruppo di Ap„ costituiscono un Aj7„, il quale possiede 



r 



elementi m,.—pli corri spandenti agli r—1 elementi presi. Si ha così tra gli 

 elementi delle F/ ciò che dico una corrispondenza projettiva di ordine n e di rango 

 r — 1 e che indico con il simbolo [m^, nit, . . . ,m^]. Se le x/'^ sono le coordinate 

 degli elementi della F/, questa corrispondenza analiticamente è rappresentata da una 



equazione della forma a^'^ a^-^ (t) ■•■ ^•^'^^ (r) = . Ogni corrispondenza projettiva di 

 ordine n si può in infiniti modi ottenere così da un aggruppamento projettivo di or- 

 dine n ; tutti gli aggruppamenti projettivi che così la forniscono costituiscono un sistema 

 fondamentale del quale determino la specie. Se gli elementi generatori delle F/, reali 

 immaginari, si rappresentano sopra i punti reali propri di r sfere e,- , tra esse si 

 ha una corrispondenza [w?i,»?2, che dimostro essere continua ed è perciò 



che dico continua ogni corrispondenza projettiva (*). 



Consideriamo un'altra corrispondenza projettiva [m\, m'^,. .. , m'^t] , di ordine 

 n' =^m\ + m'ì-\- . . . -\- ni'^ e di rango r'—l, stabilita tra gli elementi delle r' forme 



l 2 t t 



Fi , Fi' , . . . , i^i" , e supponiamo che le Fi , F" siano sovrapposte ad una stessa F^ . 

 Prendiamo un gruppo di r — 1 elementi Gr,_i , ciascuno di una delle Fi\...,Fl , ed 



un gruppo di elementi Cr^_2, ciascuno di una delle F"', ....F" . 11 gruppo 



(*) la questo modo è dimostrata geometricamente la continuità di una funzione algebrica di r 

 variabili. 



