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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



rispetto alla prima corrispondenza determina Wi elementi corrispondenti della F^, 

 ciascuno di essi insieme a G^z—s rispetto alla seconda corrispondenza determina ?«V 



elementi corrispondenti della Fi' , per cui G^—t e ^r'-ì dànno insieme nii m'^, elementi 



'"'r' " ri "''r' 



della F" . Si ha così tra le Fi', ... , Fi , F" , . . . , Fi' una corrispondenza 

 [w/wj , . . . , m/m^, miml,mini'^] che chiamo risultante delle due date. Dimostro 

 poi che è projettiva una corrispondenza risultante di due corrispondenze projettive. 

 Se le coordinate degli elementi della Fi sono le quelle degli elementi 



delle Fi , Fi' sono rispettivamente le 00 1^'^ ^ 00^^ G 00^ ) OC2 , le due corrispondenze 



date si possono rappresentare con due equazioni della forma a^"' a. ... a = , 



(^o-" * . . . ^(^j = e l'equazione della corrispondenza risultante si trova elimi- 

 nando tra esse le 00^ ) OO2 • 



Se le r forme Fi' sono tutte sovrapposte ad una stessa Fi ogni elemento w-plo 

 dell'aggruppamento Ap„, che fornisce sulla Fi una corrispondenza projettiva di ordine 

 w e di rango r — 1, è tmito r-plo per la corrispondenza, e viceversa, la quale perciò 

 o possiede n elementi r-pli, e solamente n, ha un elemento r-plo in ogni elemento 

 della Fi. Gli elementi r-pli della corrispondenza projettiva data dalla equazione 



tn , ni ITI 



a oc' ... a*^ (r) = ^ sono rappresentati da A"^ — cxJ^^</.J^^'...c<J''^=0. In par- 

 ticolare una corrispondenza projettiva di 1° rango [w?, , m^] , stabilita tra gli elementi 

 di una stessa Fi e rappresentata dalla equazione a^'^ (i) a^^^ (,) = 0, possiede n—mi-\-m^^ 



elementi uniti doppi , rappresentati dalla equazione A^p = ocj^^ (y.J^^ = . Kesta così 

 dimostrato geometricamente il noto principio di corrispondenza di Chasles. Ora può 

 sorgere un dubbio: stabilita con costruzioni geometriche una corrispondenza [««i,m2,.-MWr]» 

 di ordine w e di rango r — 1 , tra gli elementi di r forme geometriche fondamentali 

 di P specie, non sarà poi difficile riconoscere se essa si può no ottenere nel modo 

 detto con un Ap„, cioè non sarà difficile riconoscere se essa è no projettiva, ciò 

 che è indispensabile sapere per dedurre V esistenza dei suoi n elementi uniti r-pli , 

 quando tutte le forme che la contengono sono sovrapposte ? Siccome sappiamo che 

 è projettiva una corrispondenza risultante di due corrispondenze projettive , il dimo- 

 strare la projettività di una corrispondenza ottenuta con costruzioni geometriche non 

 è più difficile della ricerca con la geometria analitica della equazione che rappre- 

 senta la corrispondenza stessa. I molti casi che ho trattato con questo metodo, e 

 che ho scelto tra i più importanti, lo provano. Ho per esempio dimostrato che una 

 IPn,e possiede sempre (p + l) (n — p) elementi (p + l)-pli e che se si corrispondono 

 projettivamente i gruppi di due involuzioni Ip,,,,! situate sopra una stessa Fi, 



vi sono sempre Wj + Wj coppie di gruppi corrispondenti che hanno un elemento comune. 



Ogni involuzione Ii>„,„_i individua il gruppo dei suoi elementi »i-pli, e viceversa 

 questo gruppo individua la involuzione. Si possono dire armonici due gruppi, ciascuno 

 di n elementi, se sono costituiti dagli elementi »z-pli di due involuzioni projettive ar- 

 moniche di ordine w e di rango n—l.l due gruppi a/ = , hx"=0 sono armo- 

 nici se (a&)"z=0, e viceversa. 



