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LE CORRISPONDENZE PROJETTIYE 



I. 



I sistemi fondamentali. 



1 . — Consideriamo una varietà } 1 { tale che due qualunque dei suoi elementi 

 appartengano ad un suo gruppo Si , di grado infinito J 2 { , tale che ciascuno di questi 

 gruppi Si sia individuato quando debba contenere due elementi Sq , della varietà 

 e tale che se essa contiene tre gruppi S'i , S"i , S"'i i quali due a due abbiano un 

 elemento comune, senza però appartenere tutti ad uno stesso elemento, ogni altro suo 

 gruppo Si che abbia un elemento comune con S'i ed un altro con S"i, abbia ne- 

 cessariamente un elemento comune con S"'i . 



Se la varietà contiene un gruppo Sj ed un elemento Ai , non appartenente a Si , 

 ciascun elemento di Si insieme ad Ai individua un gruppo Si*. Si hanno così infiniti 

 gruppi Si*, i cui elementi costituiscono un gruppo Sj, di grado infinito, contenente 

 Si ed A- 



Se nella varietà esiste un gruppo Sj ed un elemento Ai, non appartenente ad 

 esso, ciascun elemento di S, insieme ad A^ individua un gruppo Si*. Si hanno così 

 infiniti gruppi Si* , i cui elementi costituiscono un gruppo S3 , di grado infinito, con- 

 tenente S^ ed A^. 



Proseguendo così otteniamo dei gruppi Si , S^ , S3 , . . . , S^i , , . . . , passando da 

 ciascuno di essi S,^i ad un altro successivo S^ , ciò che è possibile fintantoché il gruppo 

 ottenuto non coincide con la data varietà. 



Un gruppo S, lo chiameremo sistema fondamentale di specie v ed i gruppi 

 Si , Sj li chiameremo anche rispettivamente fasci e reti. 



Diremo che un sistema S, è individuato dal sistema S^_i e dall'elemento A^_i 

 che insieme agli elementi di S,_i dà i gruppi Si""* che costituiscono S, , gruppi che 

 chiameremo fasci generatori del sistema S, . 



Per introdurre maggiore generalità negli enunciati dei teoremi, un elemento lo 

 considereremo come un sistema fondamentale Sq di specie . 



2. — Una rete ed un fascio si appartengono se hanno due elementi comuni. 

 Siano Al , Si l'elemento ed il fascio che individuano una data rete Sj e siano 



Ai , A^ due elementi comuni alla Sj e ad un fascio S'i . Se uno dei due elementi 

 Ai , A^ coincide con A^ , S'i è un fascio generatore della rete e quindi apj)artiene 

 ad essa. Se A^ , A3 sono distinti da ^1 , i fasci generatori S/', S/" individuati da Ai , A, 

 ed Al , A3 hanno comuni con Si gli elementi A', , A'3 almeno uno dei quali, per esempio 

 A'i, non appartiene a S'i, se Si, S'i non coincidono. 11 fascio S'i ha un elemento A^ 

 comune con S"i ed un altro A3 comune con S"'i , quindi deve avere un elemento A 

 comune con Si (1). Un altro elemento qualunque E di S'i insieme ad Ai individua 

 un fascio S""i , il quale ha comune con S'i l'elemento E e con S"i un altro elemento 

 Al, quindi S""i ha un elemento E' comune con Si (1). Ne segue che S""i è un fascio 

 generatore della Sj e quindi ne segue che ogni elemento E di S'i appartiene alla S, . 



