DI RICCARDO DE PAOLIS 



505 



Per dimostrare il teorema precedente abbiamo prima fatto vedere che ee S'j ha 

 due elementi comuni con la S, , ha un elemento comune con S, . Ciò equivale a dire 

 che ogni fascio della rete ha un elemento comune con il fascio che la individua. 

 Fondandoci su questa proprietà possiamo dimostrare l'altra più generale: 



Due fasci di una stessa rete hanno sempre un elemento comune, e quindi 

 uno solo. 



La rete Sj , inviduata da Ai e S, , contenga i due fasci S',, S", . Se essi sono 

 fasci generatori della rete contengono l' elemento Ai . Se solamente S'i è un fascio 

 generatore della Sj, il fascio generatore S"'i che contiene un elemento A., di S"i ha 

 un elemento comune con Si , e siccome S"i ha l'elemento A^ comune con S'", ed 

 un altro elemento comune con Si , deve avere un altro elemento comune con S', . Se 

 nessuno dei fasci S'i , S"i è generatore della rete, siccome S, , S"i , S'", hanno due a 

 due un elemento comune, senza appartenere tutti ad uno stesso elemento, e siccome 

 S'i ha un elemento comune con S, ed un altro con S'", , deve avere un elemento 

 comune anche con S"i . 



I due teoremi precedenti li abbiamo dimostrati supponendo che se tre fasci S', , 

 S"i , S'", hanno due a due un elemento comune, senza appartenere tutti ad uno stesso 

 elemento, ogni altro fascio Si che ha un elemento comune con S', ed un altro con 

 S"i , ha necessariamente un elemento comune con S"'i . Inversamente è facile dimo- 

 strare questa proprietà supponendo che una rete ed un fascio si appartengano se hanno 

 due elementi comuni, e che due fasci di una stessa rete abbiano sempre un elemento 

 comune, e quindi uno solo 



3. — Una rete è individuata da uno qualunque dei suoi elementi e da uno 

 qualunque dei suoi fasci che non lo contengono. 



Una rete S^ sia individuata da A^ e Si . Un elemento Ali della Sj ed un suo 

 fascio S'i , che non contenga A!^ , individuano una rete S', . Il fascio S"i che contiene 

 J., , appartenendo alla Sj (2) contiene un elemento di ciascuno dei fasci S, , S'i (2). 

 Ne segue che S"i appartiene alla S'j e quindi che S, appartiene alla S',, avendo con 

 essa comuni gli elementi che ha comuni con S'i , S"i . Ciascuna delle due reti S^ , S'^ 

 contiene dunque i due fasci S,,S'i. Ora ogni elemento della Sj, o S'j, appartiene alla 

 S'j , Sj , perchè per esso si può condurre un fascio che abbia comuni due elementi 

 distinti con S,, S'i e quindi appartenga a S, e S'j, dunque le due reti coincidono. 



Dal teorema precedente discende immediatamente che: 



Una rete è individuata dati tre qualunque dei suoi elementi., purché essi 

 non appartengano ad uno stesso fascio. 



4. — Supponiamo di avere dimostrato le seguenti proprietà per i sistemi fon- 

 damentali di specie (j., essendo [j. minore di un dato numero v; 



1° « Un sistema S^ è individuato dati [J.+l qualunque dei suoi elementi, 

 « purché essi non appartengano ad uno stesso sistema fondamentale di specie minore 

 « di [j.. » 



2° « Un sistema S^^^ è contenuto in un sistema S^ , essendo /j. > ^^.j , se eoa 

 « esso ha comuni p-i + l elementi che lo individuano. » 



Serie II. Tom. XLII. 



