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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



Siccome le proprietà già dimostrate, o supposte, per i fasci e per le reti sono 

 casi particolari di queste, e precisamente corrispondono a ritenere jU<v=3, se, sup- 

 ponendole vere qualunque sia [j.<.v , facciamo vedere che esse sono vere anche per 

 tj. = v , potremo ritenerle dimostrate per i sistemi fondamentali di specie qualunque. 

 Intanto esponiamo qui appresso due proprietà che discendono immediatamente da quelle 

 ora ammesse, e che quindi resteranno poi dimostrate insieme ad esse. 



5. — Se fj. + l eì ementi individuano un sistema Sj^, qualunque di essi 

 individuano un sistema 



Per dimostrare questo teorema basta evidentemente provare che se f;. + 1 elementi 

 Ai,. . . , A^^^ individuano un sistema S^^, qualunque di essi individuano un si- 

 stema S|,_i . Se ^2 1 • • • 5 ^n+i individuassero un sistema S^/, essendo [J.'-<fx — 1, non 

 potrebbe S^/ contenere Ai , perchè è pJ <Z[J. e per ipotesi gli elementi dati individuano 

 un Sj.; ma allora Ai e S^, individuerebbero un S^,^, contenente tutti gli elementi 

 dati, ciò che è pure impossibile perchè [j'+1<ì[j., dunque deve essere p.' = fJ'. — 1. 



Se [J.-{-l dati elementi individuano un sistema S^, individuano un S'^ anche 

 [J. + 1 elementi appartenenti ciascuno ad uno dei fasci die contengono uno degli 

 elementi dati insieme ad uno stesso elemento non appartenente a S^^. 



Il sistema sia individuato dagli elementi A^, A,,... , A^_^_^ e sia A un elemento 

 non contenuto in . Prendiamo gli elementi JBi, 18^,..., B^_^i ciascuno in uno dei 

 fasci individuati da -4 e dagli elenienti dati Ai , e supponiamo che gli elementi 5, 

 individuino un sistema S^,, essendo ij!<.[j.. Allora S^, non può contenere A, perchè 

 se così fosse, conterrebbe i fasci individuati da A con ciascun elemento i?, (4 , 2") 

 e quindi conterrebbe gli elementi A^, che perciò non individuerebbero S^. Non essendo 

 A contenuto in S^^/, ^ e S^, individuano un sistema S^,^i che contiene gli elementi A^, 

 per cui deve essere ^u.' + 1 ^ jut. ; ma per ipotesi è p!<ip., dunque si ha necessariamente 

 p.'=a. — 1, S^'+i deve coincidere con S^^ e deve contenere A, ciò che abbiamo 

 escluso. Ne segue che p! = p. . 



6. — Un sistema S^^ è contenuto in un sistema 8,, essendo v>Vi, se con 



esso ha comuni Vi + 1 elementi che lo individuano (4, 2"). 



Cominciamo a dimostrare che un fascio S, appartiene ad un sistema S^, se con 

 esso ha comuni due elementi ^, , A^. Il sistema sia individuato da -4 e S,_i . Se 

 Sj contiene A e \m fascio generatore di e quindi appartiene ad esso. Se non 

 contiene A, i fasci generatori di individuati da A rispettivamente con A^ , A^ hanno 

 comuni con S^_i due elementi Bi , B, che individuano un fascio S'i appartenente a 



(4, 2°). Ora A e S\ individuano una rete Sj appartenente evidentemente a 

 ma la Sj contiene il fascio Sj , che ha comuni con essa gli elementi Ai, A^, dunque 

 S, appartiene a 8, . 



Adesso possiamo ritenere dimostrato il teorema in generale se, supponendo che 

 S, contenga ogni sistema 8^ _j avente con esso comuni Vi elementi che lo individuano, 



dimostriamo che 8^ contiene ogni sistema 8 ^ avente con esso comuni v,4-l elementi 

 che lo individuano, essendo yi<;;^. 



