DI RICCARDO DE PAOLIS 



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Gli elementi che individuano , e che appartengono a S^, siano Ai,Ai, ...,A^ , 

 il sistema individuato da A.i...A^_^_^ sia (5)- Possiamo individuare S,^ con Ai 



e S^^_, ; ma contiene S^^_, , per l'ipotesi fatta, dunque contiene S^^, contenendo tutti 

 i suoi fasci generatori, ciascuno dei quali ha comune con l'elemento Ai ed un 

 •elemento di _, . 



Un sistema è individuato (?a v + 1 qualunque dei suoi elementi, purché essi 

 non appartengano ad uno stesso sistema fondamentale di specie minore di v (4, 1°). 



Il sistema sia individuato dal sistema S^_, e dall'elemento A . 



Se A' è un elemento di , non contenuto in S,_i, A' e S^_, individuano un 

 sistema S'^ . Ora il fascio S, che contiene A , A' è generatore di e quindi ha comune 

 con S^_, un elemento i?; ma S, contiene gli elementi A', B di S'^, dunque S'^ , con- 

 tiene S, e perciò contiene A. Ne segue che ogni fascio generatore di S^, o di S'^, 

 appartiene a S', , o S^, perchè con esso ha comune l'elemento ^, o -4', e l'elemento 

 che ha comune S,_i , dunque S,, S', coincidono e possiamo dire che il sistema 

 individuato da -4 e S,_, , si può anche individuare con 8,_i e con un altro suo qua- 

 lunque elemento A!, non contenuto però in S,_i . 



Sia S',_i un sistema di S, distinto da S,_, , non contenente A ed individuato 

 dagli elementi A^, A^, . . . , A^ . Sia S', il sistema individuato da J. e S',_, . Ogni ele- 

 mento Ai insieme ad A individua un fascio generatore di e di S', , fascio che )ia 

 comune con S,_i un elemento 5,, ed il sistema S,_i è individuato dagli elementi Bi (5). 

 Ne segue che S,_i appartiene a S', , perchè ha comuni con questo sistema i v elementi 

 Bi che lo individuano. Ora, ogni fascio generatore di S,, o S', , appartiene a S',, o , 

 perchè con esso ha comune l'elemento A e Telemento che ha comune con S,_i , o 

 S'^_i, dunque , S', coincidono e possiamo dire che il sistema S^, individuato da 4 

 e S^-t » si può anche individuare con A e con un suo qualunque sistema S'^_,, non 

 contenente però A . 



Sia S'^_, un sistema di distinto da S^_, , sia A' un elemento di distinto 

 da -4 e non contenuto in S'^_,, e sia S'^ il sistema individuato da A' e . In 



possiamo prendere un elemento A", distinto da A ed A' e non contenuto in S^_, 

 . Allora sappiamo che si può individuare con A" e S^_j , quindi anche con 

 A" e S'^_, , e quindi anche con A! e S'^_j , per cui possiamo dire che il sistema 

 si può individuare con un suo qualunque elemento A' e con un suo qualunque sistema 

 , non contenente però A'. 



Se Al, Ai, . .. , A^^y sono v+l elementi di , non appartenenti ad uno stesso 

 sistema fondamentale di specie minore di !/, gli elementi Ai,...,A^ individuano un 

 sistema S'^_j (4, 1°) contenuto in (6), per cui sappiamo che si può individuare 

 con Al e ■ Se un altro sistema S'^ contenesse gli elementi Ai conterrebbe pure 

 esso Al e S\_i e quindi coinciderebbe con , dunque i v+l elementi Ai indivi- 

 duano S . 



Le pi'oprietà già enunciate per i sistemi fondamentali (4) si possono adesso ri- 

 \tenere tutte dimostrate, qualunque sia la loro specie. 



