508 LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



7. — Se i sistemi S^, , Sj sono contenuti in uno stesso sistema , e se Si 

 non appartiene a S^_, , possiamo individuare con S,_i e con un elemento A di 

 S, (6) ; allora S, è un fascio generatore di S, , quindi S^_, e Sj hanno un elemento 

 comune, ed uno solo. 



Se i sistemi S , e S. sono contenuti in uno stesso sistema S . e se S„ non 



appartiene a S^_i, possiamo immaginare S.^^ individuato da elementi -4,, A,, A ^ 



non appartenenti a S^_i. Allora A con ciascun elemento A^ individua un fascio che 

 ha un elemento 5,, ed uno solo, comune con S^_i, Abbiamo così elementi i)\ 

 comuni a S^_i, S^^ e sappiamo che essi individuano un sistema S (5) contenuto in 

 e S^^ (6). Ora se , S^^ avessero comune un elemento A' non appartenente a _i 

 il fascio individuato da A, A' apparterrebbe a S^^ , quindi avrebbe un elemento A!' 

 comune con S^^_i ed apparterrebbe a S^_i , avendo conesso comuni gli elementi A' , A", 

 ciò che è impossibile perchè A non appartiene a S,_, . Ne segue che S^_i, hanno 

 comuni gli elementi di ^^—i , ed essi soli. 



Siano S^^ , due qualunque sistemi che non si appartengano e siano contenuti 

 in . Un sistema S,,_i di , individuato da + 1 elementi che individuino S^^ e 

 da V — Vj— 1 elementi qualunque di , contiene S^^ ed ha comune con S^^ un sistema 

 _i . Ora si vede subito che gli elementi comuni a S^^ , sono quelli comuni a 

 _^ , S,^ , ed essi soli. Analogamente possiamo trovare un sistema , di S,_i , che 

 contenga S^^ ed abbia comune con ^y,—i un sistema , in modo che gli elementi 

 comuni a ^^-i > > ^ quindi a S^^ , S,^ , siano quelli comuni a S, _j , S,^ , ed essi 

 soli. Proseguendo così, se v' = Vi + V2 — vgO, si arriva a due sistemi S^+i , S, , di 

 uno stesso sistema ? i cui elementi comuni sono quelli comuni a S^^ , S,^ , ed essi 

 soli, e quindi è allora dimostrato che gli elementi comuni a S,^ , S,^ sono gli elementi 



di un sistema S^/, ed essi soli. 



Applicando successivamente il risultato precedente troviamo che: 



Se i sistemi S, , S , . . . , S sono contenuti in imo stesso sistema , in ge- 



nerale hanno comuni tutti gli elementi di un sistema S/, ed essi soli, se 

 è v' = Vi + 'A + ... + y,— (r-l)v^O. 



8. — Se v'<v un sistema , individuato da v'+l elementi capaci di indivi- 

 duare un sistema S,, e da altri v— v' elementi comunque presi, contiene S,/, dunque: 



Un sistema S,/ è contenuto in infiniti sistemi S, , se v>v', uno dei quali 

 e individuato se deve contenere y— v' elementi capaci di individuare un sistema 

 S,_/_i, e nessuno dei quali appartenga a S^. 



Se •j>v'+y", un sistema individuato da v'+l elementi capaci di individuare 

 un sistema S^,, da elementi capaci di individuare un sistema S^„, che non abbia 



elementi comuni con S^,, e da altri v — v'— v"— 1 elementi comunque presi, contiene 

 S,/ 8^,/, dunque : 



Due sistemi S^, S,„, che non hanno clementi comuni, sono contenuti in in- 



