DI RICCARDO DE PAOLIS 50 {> 



finiti sistemi , se v>y'+v"+l, xeno dei quali è individuato se deve contenere 



V — y' — y"— 1 elementi capaci di individuare un sistema S^_/_^//_s e nessuno dei 

 quali appartenga a S^„. Se v = v'4-v"+l , S,, , S^,, sono contenuti in un sistema 

 S,, ed in uno solo. 



Se v>v' + i/" — v'"— 1, un sistema S,, individuato da elementi capaci 



di individuare un sistema S^„/, da !^' — v'" elementi capaci insieme ai primi v"'4-l di in- 

 dividuare un sistema S^,, essendo >'>v"', da v" — v'" elementi capaci insieme ai primi 

 v"'+l di individuare un sistema S^,,, essendo v">v"', e da altri y— v' — >"+i^"' elementi 

 comunque presi, contiene S^, , S^,, , dunque : 



Due sistemi S^,, H^„, che abbiano comune un sistema S^w, sono contenuti in 

 infiniti sistemi S^, se v>v'+v"—i>"', tino dei quali è individuato se deve contenere 



V — v'— elementi capaci di individuare un sistema ^^_^_^„_^^,„_^ e nessuno dei 

 quali appartenga a S^, S^,. Se v = >'4-v" — v'" S^, , S^,/ sono contenuti in un sistema 

 S^, ed in uno solo. 



9. — Consideriamo la varietà 2„ che ha per elementi i sistemi S^_, di un dato 

 S^. Due qualunque elementi della 2^ hanno comune un sistema S,_j (7) ed individuano 

 il gruppo 2j degli infiniti elementi della 1^ che contengono Sv_j (8). 



Un gruppo 2i è individuato da due qualunque dei suoi elementi. 



Gli elementi S*''^_, , S''\_i , S''*^_i della 2^ siano distinti, e siano rispettivamente 

 comuni ai gruppi 2"i , 1"\ ; , 1\ ; 1\ , 2"i . I sistemi S',_j , S",_.j , S'"^, rispettiva- 

 mente comuni a tutti gli elementi di 1,\ , 2"i , hanno allora comune il sistema 



che appartiene insieme a S'-'^i, S^'\_i, S*'*v_i (7). Ora se un gruppo 1^, costi- 

 tuito dagli elementi della 2^ che contengono il sistema S,_2 , ha un elemento comune 

 con 2'i ed un altro comune con 2"i, evidentemente Sv_s deve contenere S,_3 e 

 quindi 2i deve avere un elemento comune anche con (8). 



Le precedenti proprietà ci dicono che i gruppi 1^ sono fasci della varietà 2, (1), 

 la quale è un sistema fondamentale di specie v. 



10. — Gli elementi di un sistema 2^/ di 2, sono quelli elementi Sv_i di 2^ 

 che contengono uno stesso sistema S^_/_i . 



Il teorema è vero per un fascio, cioè se v'=l; basta dunque dimostrarlo per 

 un sistema fondamentale di specie v', supponendolo vero per uno di specie v' — 1. Se 

 2^, è individuato da 2 /_i e S^_i , e se S^_y è il sistema comune a tutti gli elementi 

 di 2,/_i , essendo 2^ costituito dagli elementi dei fasci individuati da Sv_i con ciascun 

 elemento di 2^/_i è chiaro che ogni elemento di 1^, contiene il sistema S^_v'_i comune 

 a S,,y e S,_i. Viceversa ogni elemento di 2^ che contiene S,_^/_j, insieme a S^_i 

 individua un fascio 2^ costituito da tutti gli elementi di 2^ che contengono un sistema 

 S,_2 ; ora 8,^8 e , avendo comune il sistema S,_,'_, , appartengono ad uno stesso 

 sistema fondamentale di specie v — 1 (8) , che è un elemento comune a 2i e 2y_i . 

 Ne segue che 2^ è un fascio generatore di 2»/, e quindi che ogni elemento di 2^ clie 

 contiene S,_y_i appartiene a 2,,. 



