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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



11. — Un sistema fondamentale S, , di elementi S<, , si può anche considerare 

 come un sistema fondamentale 2, di elementi 1„, e viceversa. jSTe segue che ciascuna 

 delle proprietà finora stabilite per i sistemi fondamentali, e quindi ciascuna di quelle 

 che si possono dedurre da esse, e da esse sole, può essere interpretata in due modi, 

 secondochè l'elemento generatore del sistema è un S,, o un 2„ . In questo fatto con- 

 siste il principio di dualità , per mezzo del quale dall'enunciato di un teorema relativo 

 ad un sistema S, , o 2,, di elementi S„, o 1^, si deduce immediatamente l'enunciato 

 •di un altro teorema, duale del primo, sostituendo alla considerazione di ogni sistema 

 S,' quella di un sistema 2,. , e viceversa. 



Applicando il principio di dualità, ogni sistema S,, , o 1„, di S,, o 2,, si so- 

 stituisce con un sistema 2,/ , o , di 2v , o S, , e quindi con il sistema S,_^,_, , o 

 2,_v-_, , che appartiene a tutti gli elementi di o S^, (10). E perciò che, in S, , 

 o 2, , diremo sistemi duali due S^, , S,_y_, , o , 2,_^/_j , cioè due sistemi fonda- 

 mentali se è v—1 la somma dei numeri che indicano le loro specie. 



In S^, 2,, sono duali due sistemi S„, S,_i , o 2^, 2,_i. Se 2v' = v — 1, un 

 sistema S,/ di , o 2,, di 2 , è duale di sè stesso. 



IJ. 



Le corrispondenze projettive 

 tra gli elementi di due sistemi fondamentali 

 della stessa specie. 



12. — Supponiamo di avere due sistemi fondamentali della stessa specie, tali 

 che tutti gli elementi S..^ del primo siano contenuti in un dato sistema S^, e tutti 

 gli elementi del secondo contengano un dato sistema S,„ . Se S,/ ed un qualunque 

 elemento S,^ del secondo sistema, in generale, hanno comune un elemento S^^ del primo 

 e nessun altro sistema fondamentale di specie , mentre ed un qualunque elemento 

 del primo sistema, in generale, sono contenuti in un elemento S,^ del secondo ed 

 in nessuno altro sistema fondamentale di specie Vj , diremo che il secondo sistema si 

 ottiene projettando il primo da S,,/ , ed il primo sistema si ottiene segando il secondo 

 con Sv', ovvero diremo che il primo sistema è una sezione del secondo, e che questo è 

 una proiezione del primo. 



Projettare e segare sono operazioni duali (11). 



Se due sistemi fondamentali della stessa specie sono dedotti uno dall' altro con 

 un numero finito di projezioni e sezioni, tra i loro elementi si ha una corrispondenza 

 biunivoca }21{, essendo corrispondenti due elementi che si deducono uno dall'altro 

 con le dette projezioni e sezioni. 



Ad un particolare elemento di uno dei due sistemi può darsi che corrispondano 

 [j.+l elementi dell'altro, capaci di individuare un sistema S^^, o 2,^, ed allora al detto 

 elemento corrispondono evidentemente tutti gli elementi di , o 1^. 



