DI RICCARDO DE PAOLIS 



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13. — Se due fasci sono dedotti uno dall'altro con un numero finito di pro- 

 jczioni e sezioni, diremo che tra i loro elementi è stabilita una corrispoììdenza biu- 

 nivoca proiettiva, o più brevemente una projettività, c diremo pure che essi sono due 

 fasci progettivi. 



Due fasci progettivi ad un terzo sono projettivi fra loro. 



14. — Tra dtie fasci esiste sempre una projettività nella quale si corrispondono 

 gli elementi di tre coppie date ad arbitrio. 



Segando un fascio 1^, di elemeiiti S^, con un fascio S, del sistema S,^.i che 

 lo contiene, si hanno due fasci projettivi Sj , li (13). E dunque chiaro clie basta 

 dimostrare il teorema enunciato per due fasci Si, S'i . Possiamo supporre che Si, S'i 

 non abbiano elementi comuni, perchè altrimenti si potrebbero considerare altri due 

 fasci ad essi projettivi e non aventi elementi comuni. 1 due fasci Sj, S'i appartengona 

 ad uno stesso sistema (8). 



Siano A, A';B, B'; C, C tre coppie di elementi, rispettivamente di Si.S'i, e 

 S'^i , S*i , S^i i tre fasci che esse individuano. Un elemento qualunque E di S'^i, di- 

 stinto da -4 e da A', insieme a S^i e S^i individua due reti, di S3 , le quali hanno 

 comune un fascio S", contenente £1 ed un elemento di ciascuno dei fasci S*i , S^i . 

 Tutte le reti di S3 che contengono S"i costituiscono un fascio che segato con 81 , SV 

 ci dà una corrispondenza projettiva nella quale agli elementi A, B , C corrispondono 

 rispettivamente gli elementi A' , B' , C. 



Abbiamo così dimostrato che tra due fasci esiste almeno una corrispondenza 

 projettiva nella quale si corrispondono gli elementi di tre coppie date ad arbitrio. 

 Supponiamo che, per la natura della varietà che si considera, quando si tratta di 

 due fasci Si, S'i una corrispondenza projettiva sia individuata se sono date tre 

 coppie di elementi corrispondenti. Allora possiamo subito affermare, pivi generalmente, 

 che: 



Una corrispondenza projettiva tra due fasci 2i , l.\ è individuata se sona 

 date tre coppie di elementi corrispondenti Sv , S', . 



15. — Diremo che tra gli elementi di due sistemi fondamentali, della stessa 

 specie v>l, è stabilita una corrispondenza biunivoca projettiva, piti brevemente 

 una projettività, se ad ogni fascio di elementi di uno dei due sistemi corrisponde 

 projettivamente un fascio di elementi dell'altro ; in questo caso diremo pure che i due 

 sistemi fondamentali sono projettivi. 



Si vede subito che se due sistemi fondamentali sono projettivi, ad ogni sistema 

 fondamentale di uno corrisponde projettivamente un sistema fondamentale dell' altro. 



Due gruppi, ciascuno di uno dei due sistemi fondamentali, li diremo 5'r«2'i^«\pro- 

 jettivi, se tra i due sistemi si può stabilire una projettività nella quale ciascun ele- 

 mento di ciascun gruppo sia polo J22{ di un elemento dell'altro. 



Bue gruppi projettivi ad un terzo sono projettivi fra loro. 



Due gruppi projettivi li diremo collineari se i loro elementi corrispondenti 

 sono della stessa natura; li diremo reciproci se i loro elementi corrispondenti sono 

 duali (11). 



