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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



Due gruppi sono collineari se si possono dedurre uno dall'altro con un numero 

 finito di proiezioni e sezioni. 



Due gruppi collineari, o reciproci, rispetto ad un terzo sono collineari fra loro. 



Due gruppi, uno collineare e l'altro reciproco rispetto ad un terzo, sono reci- 

 proci fra loro. 



16. — L'aggruppamento autopolare rispetto ad una corrispondenza biunivoca 

 projettiva stabilita tra due sistemi fondamentali, cioè l'aggruppamento costituito dalle 

 coppie (x, di elementi corrispondenti }36{, lo chiameremo aggruppamento p)rojettivo 

 dì 2° ordine e lo indicheremo con il simbolo Ap» . 



Ogni elemento di uno dei due sistemi, rispetto ad Ap. , determina un polo [22{, 

 ed in generale uno solo; determina cioè l'elemento corrispondente, il quale insieme ad 

 esso costituisce un gruppo G» elemento di A^), . 



Un elemento comune a due sistemi fondamentali collineari e corrispondente a sè 

 stesso, cioè un elemento che contato due volte costituisce un gruppo elemento 

 dell'aggruppamento projettivo autopolare Aj), , lo chiameremo elemento doppio per 

 A.pt e per la corrispondenza projettiva collineare che lega i due sistemi. 



Se due sistemi fondamentali coincidono (sono sovrapposti) e se tra i loro elementi 

 è stabilita una corrispondenza projettiva involutoria }40{, l'aggruppamento A^;, , au- 

 topolare rispetto ad essa, coincide con la involuzione della corrispondenza ; la chia- 

 meremo involuzione projettiva di 2° ordine e di 1° rango, o più brevemente invo- 

 luzione projettiva di 2° ordine perchè tutte le involuzioni di 2° ordine sono di primo 

 rango J40{, e la indicheremo con il simbolo . 



17. — Una projettività, tra due sistemi fondamentali di specie v, è indivi- 

 duata se a v + 2 dati elementi di uno, v + l qualunque dei quali siano capaci 

 di individuarlo, devono corrispondere ordinatamente v+2 dati elementi dell'altro, 

 y 4- 1 qualunque dei quali siano capaci d'individuarlo. 



Applicando convenientemente il principio di dualità si vede subito che basta di- 

 mostrare il teorema per due sistemi , S'^ . Siccome poi il teorema stesso è vero 

 per v = l (14), per dimostrarlo possiamo anche ritenerlo vero per due sistemi fon- 

 damentali di specie v — 1 . 



Supponiamo che agli elementi Ai, A,, A^^, del sistema S„ , v + 1 qualunque 

 dei quali siano capaci di individuarlo, corrispondano ordinatamente gli elementi A\ , 

 A't, . .. , A\^i del sistema S', , v + 1 qualunque dei quali siano capaci di individuarlo. 



Indichiamo con 2 _^ , o 2 , i sistemi i cui elementi sono i fasci Si di S, , o S'i di 



/4 , ^ A' .A' 



S',, che contengono Ai o A'^. Indichiamo con Si ' *, o Si ' *, il fascio individuato da 



A .A^ A' A'^ 



Ai, A^, A'i, A'^.' Indichiamo con , o 2^^, , i sistemi i cui elementi sono 

 le reti Sj di S,, o S'j di S', , che contengono Si"^' o S/' '^*. Indichiamo con S/'^*^', 



^/ ^/ y^t 



o Sj ' * la rete individuata da Ai, A^, Ai, o Ai, Al^, A'i. 



A. A'. 



Possiamo far corrispondere projettivamente i sistemi 1^^^ , 1^^^ in modo che 

 a S/''^', Si''*''\ S/'^''^' corrispondano rispettivamente S/'"^', Si'^''''\ .... S/'' '''+*, 



