DI RICCARDO DE PAOLIS 



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e cosi possiamo fare corrispondere i sistemi l , 1 _^ projettivamente in modo che 

 a S/'^S S/*^', ...,8/*'"+* corrispondano rispettivamente S/'''''s S/'*^'^ ... , S/'»^''+'. 

 Allora alle reti S/''**''\ ... , S^^*^^^"'*''- corrispondono rispettivamente le reti S/*'* ''^ ^ ... , 

 Sj 1 « e quindi i sistemi 2^_j , 2^_j si corrispondono projettivamento nello 

 stesso modo, sia cioè che si immaginino appartenenti a 2 2 _j , ovvero a 2 2 . 



A^ 



Un elemento qualunque E, di 8,, appartiene ad un fascio di 2^_^ e ad uno 



. '^■ì . . . 

 di 2 ' ^, contenuti in una stessa rete di 2 . Ai detti fasci devono corrispondere 



due fasci contenuti in una stessa rete di 2 _j ; iKloro elemento comune iJ' è così 

 individuato da E. Otteniamo dunque una corrispondenza biunivoca tra 8, , 8', . Un 



fascio qualunque 8i di 8, , appartiene ad una rete di 2^_^ e ad una di 2^_^, con- 



A^ A., 



tenute in uno stesso sistema 83 di 2^_^". Alle dette reti devono corrispondere due 



A\ A\ 



reti contenute in uno stesso sistema 8'3 di 2^_^ ; se S'i è il loro fascio comune, 

 ad ogni elemento E di 81 corrisponde un elemento E' di 8'^, e viceversa. Siccome 

 poi al fascio individuato da E ed Ai corrisponde projettivamente il fascio individuato 

 da E' ed A\ , ad E corrisponde projettivamente E'; quindi la corrispondenza biuni- 

 voca stabilita tra 8,, 8',, è piojettiva (15) e ad un elemento Ai corrisponde l'elemento 

 A\ . Si vede poi subito che inversamente ogni corrispondenza projettiva tra 8, , 8'^ , nella 

 quale ad un elemento Ai corrisponde l'elemento A'i, si può stabilire nel detto modo. 

 11 teorema è dunque dimostrato. 



18. — Se la projettività tra due fasci si definisce più generalmente come una 

 qualunque corrispondenza biunivoca tra i loro elementi, individuata da tre coppie di 

 elementi corrispondenti, per cui viene definita in modo più generale anche la projettività 

 tra due sistemi fondamentali di specie y>-l (15), il teorema precedente è sempre 

 vero. Da esso si deduce poi immediatamente che : 



Vn aggruppamento proiettivo di 2° ordine , autopolare rispetto ad una pro- 

 iettività stabilita tra due sistemi fondamentali di specie y, è individuato da v+2 

 qualunque dei suoi elementi. 



Se a ciascun elemento di un sistema fondamentale facciamo corrispondere l'e- 

 lemento stesso, abbiamo una particolare corrispondenza proiettiva che chiameremo 

 identità, e chiameremo identità anche il suo aggruppamento autopolare, che è costi- 

 tuito da tutti gli elementi del sistema ciascuno contato due volte. 



Due sistemi fondamentali collineari sovrapposti non possono possedere più 

 di y + 2 elementi doppi (16), y+1 qualunque dei quali siano capaci di indivi- 

 duarli, senza che siano doppi tutti i loro elementi, senza cioè che la collineazione 

 'tra i due sistemi sia la identità. 



Serie II. Tom. XLII. e' 



