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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



III. 



Considerazioni generali sulle forme geometriche fondamentali. 



19. — Siano a, b due rette appartenenti ad uno stesso piano a )7{. Se 31 

 è un punto qualunque , non contenuto però in « , i piani Ma , Mb hanno comune 

 una retta «<. Se iV^ è un punto qualunque del piano ex, non comune però ad a e b, 

 i piani ex, Nm hanno comune una retta n. Due qualunque delle rette m, n appar- 

 tengono sempre ad uno stesso piano. Le infinite rette m, n e gli infiniti piani che 

 così si ottengono sono i raggi ed i piani di una figura geometrica che chiameremo stella. 



Una stella è individuata da due qualunque dei suoi raggi. 



Se le rette a , b hanno un punto comune , la stella da esse individuate è 

 costituità da tutte le rette e da tutti i piani che appartengono al punto 0, punto 

 che diremo centro della stella. Le stelle possono dunque essere di due specie, cioè 

 possono essere dotate o no di centro. Noi le distingueremo dicendo le prime stelle 

 proprie e le seconde stelle improprie. 



Ogni punto è centro di una stella propria, da esso individuata, e viceversa ogni 

 stella propria individua un punto che è il suo centro. Alla considerazione di una stella 

 propria si può dunque sostituire quella di un punto, e viceversa. Ora viene natural- 

 mente l'idea di estendere l'ordinario concetto di punto, chiamando punto anche una 

 stella impropria. Come possono esservi due specie di stelle, le proprie e le improprie, così 

 potremo avere rispettivamente due specie di punti, i punti propri ed i punti impropri (*). 



Lo spazio considerato come la varietà i cui elementi sono le stelle, ossia come 

 la varietà i cui elementi sono i punti propri o impropri, viene a contenere l'ordinario 

 spazio punteggiato. 



20. — Un punto improprio di una retta, o di un piano, è il centro di una 

 stella impropria che contiene la retta, o il piano. 



Una retta, o un piano, contiene infiniti punti propri e può contenere infiniti 

 punti impropri. 



Due rette di uno stesso piano hanno sempre un punto comune, proprio o improprio. 



21. — Siano A, B due punti propri di due dati piani a, |3. Per A e B pas- 

 sano infiniti piani, e ciascuno di essi y sega (Z,/3 secondo due rette ay, /3y, il cui 

 punto comune (20), proprio o improprio, appartiene ad « ed a /3. Si vede così che 

 due piani hanno sempre infiniti punti comuni , propri o impropri. Se i due piani 

 hanno comune un punto proprio , tutti i punti ad essi comuni sono tutti quelli di 

 una stessa retta; se i due piani non hanno comune un punto proprio, hanno comuni 



(*) Per maggiori schiarimenti relativi alla introduzione nella geometria dei punti, rette e piani 

 impropri si possono consultare le « Vorlesungen uher neuere Geometrie, von Dr. iMoritz Pasch. » 

 Koi ci limitiamo ad enunciare i soli risultati che in seguito ci serviranno. 



