DI RICCARDO DE PAOLIS 



infiniti punti tutti impropri. Il concetto ordinario di retta si può estendere chiamando 

 generalmente con questo nome il gruppo degli infiniti punti, propri o impropri, co- 

 muni a due dati piani. Potremo così avere due specie di rette, le ordinarie cioè, che 

 chiameremo anche rette proprie, le quali contengono punti propri e possono conte- 

 nerne di impropri, e quelle che chiameremo rette improprie, le quali non contengono 

 punti propri. 



Due punti, propri o impropri, individuano sempre una retta, propria o impro- 

 pria, che li contiene. 



Due rette di uno stesso piano , proprie o improprie, hanno sempre un punto 

 comune, proprio o improprio, e quindi uno solo. 



Un piano ed una retta , propria o impropria , si appartengono se hanno due 

 punti comuni, propri o impropri. 



22. — Ciascun punto di una retta insieme ad uno stesso punto, non conte- 

 nuto in essa, individua una retta; gli infiniti punti delle infinite rette che così si 

 ottengono costituiscono un gruppo 6r che contiene il punto dato e la retta data. 

 Se il punto dato è proprio , ovvero se è propria la retta data , ovvero se insieme 

 sono propri il punto dato e la retta data, il gruppo G è un piano. Se il punto dato 

 e la retta data sono impropri può darsi che G contenga un punto proprio, allora 

 ne contiene infiniti altri ed è un piano; può darsi invece che tutti i punti di G siano 

 impropri. Il concetto ordinano di piano si può estendere chiamando piii generalmente 

 con questo nome ogni gruppo G che si può ottenere nel detto modo. Potremo così 

 avere due specie di piani , gli ordinari cioè , che chiameremo anche piani propri , i 

 quali contengono punti propri e possono contenerne di impropri, e quelli che chia- 

 meremo piani impropri, i quali non contengono punti propri. 



23. — Per rappresentare le figure di punti, rette e piani, propri ed impropri, 

 si possono adoperare gli stessi simhoLi che si introducono quando si considerano sola- 

 mente punti, rette e piani, propri }7{. 



24. — Se non facciamo più alcuna distinzione tra i punti, le rette ed i piani 

 propri impropri, possiamo dire che : 



Due punti individuano una retta che li contiene. 



Due rette di uno stesso piano hanno sempre un punto comune, e quindi uno solo; 



Un piano ed una retta si appartengono se hanno due punti comuni. 



Un piano è costituito dai punti delle rette che incontrano una sua retta fissa 

 e passano per un suo punto fisso, non situato in essa. 



Scegliendo il punto come elemento (come sistema fondamentale di specie o) 

 ne segue che: 



Lo spazio punteggiato è un sistema fondamentale Sj , di 3* specie ; il piano 

 punteggiato è un sistema fondamentale , di 2^^ specie, (è una rete di punti (2)) ; la 

 retta punteggiata è un sistema fondamentale Si , di P specie, (è un fascio di punti). 



Scegliendo il piano come elemento, (come sistema fondamentale 1^ di specie o)» 

 ne segue che : 



