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LE CORRISPONDENZE PROJETTITE 



Lo spazio di piani è un sistema fondamentale 2, , di 3* specie; la siella di 

 piani è un sistema fondamentale 2j , di 2* specie, (è una rete di piani), il fascio 

 di piani, cioè il gruppo di tutti i piani che appartengono ad una stessa retta, asse 

 del fascio, è un sistema fondamentale ^i, di 1* specie (9). 



Scegliendo la retta come elemento di un piano o di una stella (come sistema 

 fondamentale 1„ di specie o) ne segue che : 



Il piano rigato e la stella di raggi sono sistemi fondamentali 2,, di 2* specie, 

 (sono reti di rette) ; il fascio di raggi, cioè il gruppo di tutte le rette che insieme 

 appartengono ad un dato punto, centro del fascio, e ad un dato piano, è un sistema 

 fondamentale , di P specie. 



Nello spazio sono elementi duali il punto ed il piano, e la retta è duale di sè 

 stessa. Sono sistemi duali lo spazio punteggiato e lo spazio di piani, il piano pun- 

 teggiato e la stella di piani, il piano rigato e la stella di raggi, la retta punteggiata 

 ed il fascio di piani. Il fascio di raggi è duale di sè stesso. 



Nel piano sono elementi duali il punto e la retta. Sono sistemi duali la pun- 

 teggiata ed il fascio di raggi. 



Nella stella sono elementi duali la retta ed il piano. Sono sistemi duali il fascio 

 di raggi ed il fascio di piani (11). 



I sistemi fondamentali di 1*, 2*, 3* specie, costituiti da punti, rette o piani, 

 li chiameremo rispettivamente forme geometriche fondamentali di 1% 2*, 3* specie 

 e li indicheremo con i simboli F^, jF, , F^. 



25. — Da una qualunque F^, con un numero finito di proiezioni e sezioni 

 (12), si può sempre dedurre un fascio di rette proprie. Gli elementi, propri e im- 

 propri, di una F^ si possono dunque rappresentare hiunivocamente sulle rette proprie 

 di un fascio con una corrispondenza proiettiva (13). Fondandoci su questo fatto, con 

 i soliti metodi, si può dimostrare che una corrispondenza proiettiva tra due forme Fi 

 è individuata se sono date tre coppie di elementi corrispondenti (14); quindi si pos- 

 sono stabilire tutte le altre ordinarie proprietà delle forme geometriche fondamentali 

 proiettive (15), proprietà che noi supporremo note. 



26. — In una forma Fi una pr elettivi tà involutoria (16) o possiede due ele- 

 menti doppi , distinti coincidenti , ovvero non possiede elementi doppi. Nel primo 

 caso la involuzione si dice iperbolica, nel secondo parabolica, nel terzo ellittica. Af- 

 finchè la involuzione sia ellittica è necessario e sufficiente che sulla Fi si separino 

 due qualunque coppie AA' e BB' di elementi corrispondenti. In questo caso se un 

 elemento A varia sulla Fi in un determinato senso anche l'elemento corrispondente 

 A' varia sulla Fi nello stesso senso. Le due coppie AA' e BJff individuano la invo- 

 luzione ; la involuzione insieme ad uno dei due sensi della i^i è un elemento geome- 

 trico dello spazio, elemento che si può indicare con uno dei simboli ABA'B', BA'B'A, 

 A'B'AB, B'ABA', se il suo senso è quello secondo il quale sulla Fi si seguono gli 

 elementi A, B, A', ovvero si può indicare con uno dei simboli AB'A'B, B'A'BA, 

 A'BAB', BAB'A! , se il suo senso è quello opposto, cioè quello secondo il quale 

 sulla Fi si seguono gli elementi A, B', A'. 



