DI RICCARDO DE PAOLIS 517 



Due elementi ABA'B' , AB'A'B, che differiscono solamente per il senso, li di- 

 remo elementi coniugati. 



Un elemento geometrico ABA'B' lo chiameremo rispettivamente punto immagi- 

 nario, retta immaginaria di 1* specie, piano immaginario della Fi, secondochè 

 essa è una punteggiata, un fascio di raggi, ovvero un fascio di piani (*). 



I punti, le rette ed i piani, propri o impropri, li diremo reali quando vorremo 

 distinguerli da quelli immaginari ora introdotti. 



27. — Da ciò che precede discende immediatamente che: 



Ogni punto immaginario appartiene ad una retta reale, e ad una sola. 



Ogni retta immaginaria di 1" specie appartiene ad un punto reale e ad un 

 piano reale, e ad uno solo. 



Ogni piano immaginario appartiene ad una retta reale , e non contiene punti 

 reali fuori di essa. 



Se la Fi contiene l'elemento ABA'B' contiene anche l'altro AB'A'B, dunque: 

 Se un elemento reale, punto, retta o piano, appartiene ad un elemento imma- 

 ginario, punto, retta di P specie o piano, appartiene anche al coniugato (26). 



28. — Diremo che un punto immaginario appartiene ad un piano immaginario 

 se la retta reale del punto coincide con la retta reale del piano (27), ovvero le in- 

 voluzioni del punto e del piano sono prospettive e se insieme coincidono i loro sensi. 



Diremo che un punto, o un piano, immaginario appartiene ad una retta imma-r 

 ginaiia di 1^ specie, se le involuzioni del punto, o del piano, e della retta sono pro- 

 spettive e se insieme coincidono i loro sensi. 



29. ~ Si può dimostrare che due piani, uno immaginario e l'altro reale, hanno 

 comune una retta, o reale o immaginaria di 1" specie; si può dimostrare che due 

 piani immaginari, se hanno comune un punto reale, hanno comune una retta imma- 

 ginaria di 1^ specie, ovvero una retta reale se sono coniugati ; si può dimostrare che 

 due piani immaginari, se non hanno comune un punto reale , hanno comuni infiniti 

 punti immaginari. Il loro gruppo lo chiameremo retta immaginaria di 2* specie. 



30. — In una forma F^ una proiettività involutoria determinata dalle coppie 

 AA', AB', possiede due elementi doppi coincidenti con l'elemento A. Possiamo im- 

 maginare che essa nasca da una involuzione proiettiva ellittica determinata dalle coppie 

 AA', BB' quando A e B vengano a coincidere; quindi possiamo considerare un ele- 

 mento reale. A, come un elemento immaginario coniugato a sè stesso. Ciò permette 

 di ottenere una maggiore generalità negli enunciati dei teoremi ; così per esempio per- 

 mette di dire che se due elementi, reali o immaginari, si appartengono, anche i loro 

 coniugati si appartengono. 



(*) Per maggiori schiariiEGnti relativi alla introduzione nella geometria dei punti, rette e piani 

 immaginari, «i può consultare Staudt (Beitrdge tur Geometrie der Lage). Noi ci limiteremo ad enun- 

 ciare i soli risultati che in seguito ci serviranno. 



