518 



LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



31. — Per rappresentare le figure di punti, rette e piani, immaginari, si pos- 

 sono adoperare gli stessi simboli che si introducono quando si considerano solamente 

 punti, rette e piani, reali ]7\ (23). 



32. — Parlando indifferentemente di punti, rette e piani, reali o immaginari, 

 •possiamo sempre dire che : 



Due punti individuano una retta che li contiene. 



Due rette di uno stesso piano hanno sempre un punto comune, e quindi uno solo. 



Un piano ed una retta si appartengono se hanno due punti comuni. 



Un piano è costituito dai punti delle rette che incontrano una sua retta fissa 

 e passano per un suo punto fisso, non situato in essa. 



Ne segue che lo spazio di punti o di piani, il piano punteggiato o rigato e la 

 stella di piani o di raggi, la retta punteggiata ed il fascio di piani ed il fascio di 

 raggi, anche se si considerano insieme punti, rette e piani, reali o immaginari, sono 

 sistemi fondamentali rispettivamente di 3*, 2^, l** specie. Li chiameremo sempre forme 

 geometriche fondamentali di 3'^, 2^, 1* specie e li indicheremo sempre rispettiva- 

 mente con i simboli F^, F^, F^ (24). 



33. — Si possono ora stabilire tutte le proprietà delle corrispondenze biuni- 

 voche proiettive nelle forme F^ costituite da elementi reali o immaginari (13, 15). 



Noi le supporremo note ed in seguito applicheremo specialmente le seguenti : 



Una proietti vi tà tra due forme F^ è individuata date tre coppie di elementi 

 corrispondenti (14) (*). 



Una proiettivi tà, non identica, tra due forme geometriche fondamentali di 1^ 

 specie sovrapposte possiede sempre due elementi doppi , e solamente due , distinti o 

 coincidenti (**) (18). 



In una forma geometrica fondamentale di P specie una proiettività involutoria 

 è individuata da due coppie di elementi corrispondenti e possiede due elementi doppi, 

 e solamente due distinti o coincidenti (***). 



Due proiettività involutorie, di una stessa forma geometrica fondamentale di 1* 

 specie, hanno sempre comune una Coppia di elementi corrispondenti, ed una sola 



34. — Quattro elementi, reali o immaginari, di una forma JP, , costituiscono 

 un gruppo neutro, se si possono far corrispondere proiettivamente a quattro elementi 

 reali di una forma F\ (*****). 



Tre elementi , reali o immaginari , di una Fi appartengono ad infiniti gruppi 

 neutri. Per ottenerli tutti, se i tre elementi della F^ sono A, JB, C e se A', B', C 

 sono tre elementi reali fissati sopra una forma Fi , basta costruire gli elementi D 



(*) Staudt, loc. cit., n. 216, 217 

 (**) Loc. cit., n. 222. 

 (***) Loc. cit, n. 218, 219 

 (****) Loc. cit., n' 148, 220. 

 Loc. cit., n. 196 



