DI RICCARDO DE PAOLIS 



della Fi tali che si abbia AB CD /\ A'B'C'D', essendo D' un elemento reale qua- 

 lunque della F\ . 



Una catena {*) di elementi di una è il gruppo di tutti i suoi elementi, 

 reali o immaginari, i quali costituiscono un gruppo neutro con tre elementi della Fi 

 fissati ad arbitrio. Una catena è individuata da tre qualunque dei suoi elementi (**). 



Se due forme geometriche fondamentali di P specie sono proiettive, ad ogni 

 catena di ciascuna corrisponde una catena dell'altra. 



35. — Il piano tangente ad una sfera e in un suo punto reale la incontra 

 in due rette immaginarie coniugate, di P specie, che hanno comune il punto reale 

 0. La sfera e contiene due gruppi G', G" ciascuno di infinite rette immaginarie di 

 1'^ specie; ogni retta di un gruppo è coniugata ad una retta dell'altro; due rette 

 di uno stesso gruppo non si incontrano; si incontrano due rette ciascuna di uno dei 

 due gruppi; ecc. ecc. 



Se le rette di G', G" che passano per sono rispettivamente o', o", per un 

 punto qualunque A' della o' passa una retta a" di G", ed una sola, il cui punto 

 reale A appartiene alla sfera a; viceversa per un punto qualunque reale A della 

 sfera a passa una retta a" di G", ed una sola, la quale incontra la o' in un punto 

 A'. Abbiamo così una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta o' ed i punti 

 reali della sfera e. Siccome poi gli elementi, reali o immaginari, di una qualunque 

 F^ si possono fare corrispondere proiettivamente ai punti della retta o', otteniamo 

 una rappresentazione biunivoca degli elementi, reali o immaginari di una qualunque 

 forma i^j sui punti reali di una sfera. 



36. — Tre punti A',B', C' della o' individuano una catena che li contiene (34). 

 Siano .4, 1?, C i tre punti della sfera che li rappresentano nel detto modo, sia tx 

 il piano che li contiene e sia c il circolo comune a n e <y. Se D , M sono due qua- 

 lunque punti reali di c, per D passa una retta d" di Gr", la quale incontra la o' 

 nel punto D' che sulla sfera e è rappresentato da D; e per M passa una retta m' 

 di G', la quale incontra le rette a"=AA', h"=BB', c"=CC', d"^DD'. Ora i piani 

 ma", m'b", m'c", m'd" segano la o' rispettivamente nei punti A',B',C',D' e segano;: 

 rispettivamente secondo le rette MA, MB, MG, MD; perciò A'B'C'D' ~KM{ABCD), 

 ossia A'B'C'D' è un gruppo neutro e D' appartiene alla catena che contiene A',B',C' (34). 

 Inversamente, se D' è un elemento qualunque di questa catena, possiamo in n costruire 

 la retta reale MD in modo che sia A' B' C D' 7\ M {AB CD); se D è il punto, di- 

 stinto da 31, comune a c ed alla MD deve essere: A'B'C'D'JM{ABCD)~/^A'B'C'E', 

 se E' è il punto della o' rappresentato da D; dunque F' deve coincidere con D', 

 e perciò D' è rappresentato da un punto di c . 



Abbiamo così dimostrato che rappresentando, nel detto modo, sui punti reali di 

 una sfera gli elementi generatori, reali o immaginari, di una forma Fi, ogni catena 

 è rappresentata da un circolo della sfera, e viceversa. 



(*) Loc. cit., n. 206. 

 (**) Loc. cit., n. 207. 



