520 LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



37. — Due forme projettive F^^ F* siano rappresentate, nel modo stabilito, 

 rispettivamente su due sfere o^i , (7, . La corrispondenza biunivoca projettiva che esiste 

 tra gli elementi delle due forme dà allora una corrispondenza biunivoca tra i punti 

 reali delle due sfere. Ad un circolo di ciascuna di esse corrisponde un circolo dell'altra, 

 perchè ad una catena di ciascuna delle due forme corrisponde una catena dell'altra 

 (34, 36). 



Supponiamo che le due sfere siano prese sufficientemente piccole in modo che 

 tutti i loro punti reali siano propri. Se 31^ , ilij sono due punti corrispondenti, rispet- 

 tivamente di (7i, (7t , se Ci è un circolo della d e base di un segmento sferico <Tc^, tanto 



piccolo quanto si vuole, al quale sia interno , il circolo Ci corrispondente sulla (Ji 

 a Ci è base di un segmento sferico al quale è interno Mi . Sia Ci il centro sferico 



di Cc^; sia il punto della Cj corrispondente a Ci, e sia c'i il circolo della Ci 



che ha per diametro sferico la distanza sferica Ci Mi e che è interno a . Il punto 



Ci deve essere interno a cr^^ , perchè al circolo c\ corrisponde sulla un circolo c'j 



che deve contenere 31, e d e non deve incontrare Cj . Sia Ni un qualunque punto 

 interno a cr^ e sia c"i il circolo della (7i che ha per diametro sferico la distanza sferica 



Ni Ci e che è interno a (7<.^ • Il circolo c"i corrispondente a c"i sulla (7j deve contenere 



Ci ed il punto N^ corrispondente a Ni, e non deve avere punti comuni con Cj-, ma Cj 

 è interno a ; dunque anche N è interno a (7^^. Abbiamo così dimostrato che ad 

 un qualunque punto Ni interno a corrisponde un punto Ni interno a (7^^. Avendo 

 preso tanto piccolo quanto si vuole, ne segue che preso un intorno Iff^ 1 1 ^ j » tanto 

 piccolo quanto si vuole, si può sempre trovare un intorno 1^^^ sufficientemente piccolo 

 in modo che appartenga a Ij^f^ il punto corrispondente ad un qualunque punto della 

 Ci appartenente a I^/^ ; ne segue cioè che la corrispondenza biunivoca stabilita tra 

 le due sfere (7i , è continua J25, 31 {. Possiamo convenire di esprimere questo 

 fatto dicendo che : 



È continua una corrispondenza biunivoca projettiva stabilita tra gli elementi 

 di due forme geometriclie fondamentali di 1" specie. 



38. — Da ora in poi parlando di elementi di forme geometriche fondamentali, 

 se non sarà detto altrimenti, intenderemo sempre che essi possano essere reali, propri 

 o impropri, ovvero immaginari. 



