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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



Una involuzione projettiva di 2" ordine individuata da due gruppi come OA , 

 OB è riducibile e possiamo dirla costituita dall'aggruppamento projettivo di 1° ordine 

 contato due volte (40), per cui essa ha due elementi apolari coincidenti con 0, e 

 quindi due elementi doppi pure coincidenti con 0. In questo caso la chiameremo 

 involuzione projettiva singolare di 2° ordine. 



Una involuzione projettiva singolare, di 2" ordine, è individuata dato il suo 

 elemento apolare. 



43. — I poli A'i , A"i di uno stesso elemento A^ , presi rispetto a due dati 

 aggruppamenti A'p^, A"pi, corrispondono projettivamente ad A^ e quindi, sulla Fi^, 

 si corrispondono in una projettività risultante II* 138{. Analogamente si vede che esiste 

 una corrispondenza projettiva II* tra gli elementi A\, A!\ che sono poli di uno stesso 

 elemento A^ rispetto ad X'pt, A"p,. Diremo che le due projettività IP, II* sono coor- 

 dinate ai due dati aggruppamenti A'^, , À''pj . Le projettività coordinate a due date 

 involuzioni Vpn , lVs,i coincidono fra loro. 



Se A'pi,A"pi non sono singolari, ciascuna delle projettività II*, n* ad essi coor- 

 dinate possiede due elementi doppi, che sono distinti o coincidenti per ambedue (33). 

 Nel primo caso A'p^, A"pi hanno comuni due gruppi distinti, e solamente due; nel 

 secondo caso possiamo dire che essi hanno comuni due gruppi coincidenti, e solamente 

 due. Quest'ultimo caso si verifica sempre quando gli aggruppamenti sono due involu- 

 zioni; se i gruppi comuni alle due involuzioni sono 0'iO"t, 0'\0'i, coincidono 0\, 0\ 

 e coincidono 0'\ , 0", . 



Affinchè sia singolare una, 11^ delle projettività coordinate è necessario e suffi- 

 ciente che sia singolare uno, A'p^ , dei due aggruppamenti. In questo caso se 0\ , 0\ 

 sono gli elementi apolari di A'p^ , e se 0"i è il polo di 0\ rispetto ad A"pi , gli 

 elementi apolari della II* sono 0\ , 0"^ . Allora anche la è singolare , e , se 0'\ 

 è il polo di 0\ rispetto ad A"p, , gli elementi apolari della fi* sono O'j , 0"j . Gli 

 aggruppamenti A'j9, , A"2)ì hanno comuni i due gruppi 0\ 0"j , 0", 0'^ , ed essi soli. 



Affinchè una projettività coordinata. II*, sia una involuzione singolare è neces- 

 sario e sufficiente che uno, A'p^ , dei due aggruppamenti sia singolare e che i suoi 

 elementi apolari, O'i, 0\, costituiscano un gruppo dell'altro, A"j)j. Allora la II* è 

 pure una involuzione singolare, e gli elementi apolari delle II', fi* sono rispettivamente 

 0', , O'i . Questo caso si può immaginare dedotto dal precedente quando gli elementi 

 0"i , 0"j coincidono rispettivamente con O'i , 0\ , per cui possiamo dire che allora A'^, , 

 A"pj hanno comuni due gruppi coincidenti con 0\ , 0\ e solamente due. 



Affinchè sia indeterminata una, II*, delle projettività coordinate è necessario e 

 sufficiente che ambidue gli aggruppamenti A'p,, A'j)j siano singolari ed abbiano co- 

 mune un elemento apolare 0\ . Allora la II* è una involuzione singolare che ha 0\ 

 per elemento apolare, ed Slp^ , A''^^^ hanno comuni tutti i gruppi costituiti da 0\ 

 insieme a ciascun elemento della F^, ed essi soli. 



Affinchè sìa la identità una II* delle projettività coordinate è necessario e suffi- 

 ciente che A'pi,A"pi coincidano, ed allora anche la D* è la identità. 



Affincliè siano indeterminate ambedue le projettività coordinate è necessario e suffi- 

 ciente che A'pi , A"pi siano singolari e coincidano. 



