DI RICCARDO DE PAOLIS 



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Due aggruppamenti progettivi di 2° ordine o hanno due gruppi comuni, e so- 

 lamente due, distinti o coincidenti, o hanno comuni tutti i gruppi costituiti da un 

 determinato elemento, di una delie forme che li contengono, insieme a ciascun ele- 

 mento delValtra. 



44. — Indichiamo con il simbolo S, j il gruppo di tutti gli aggruppamenti 

 projettivi di 2° ordine, due qualunque dei quali hanno comuni i gruppi comuni a due 

 dati aggruppamenti \!pt, A"pi, ed essi soli. Dimostreremo in seguito (62) che, nella 

 varietà di tutti i possibili aggruppamenti projettivi di 2° ordine, uno di tali gruppi 

 S, , è un fascio (1); per comodo lo chiameremo fino da ora con questo nome, e chia- 

 meremo gruppo base di un fascio Sj j ogni gruppo comune a tutti i suoi aggruppamenti. 



Dalla stessa definizione discende che un fascio S, , è individuato da due qualunque 

 dei suoi aggruppamenti. 



Se À.'pi,A"pi hanno comuni due gruppi distinti 0"iO'i, 0\0", (43), ogni altro 

 gruppo Al Ai insieme ad essi appartiene ad un aggruppamento A^^j (40); e così si 

 hanno tutti gli aggruppamenti del fascio individuato da A'p^ , A"p, , fascio che ha due 

 gruppi base 0", 0', , O'i 0"^ e che evidentemente contiene i due aggruppamenti singolari 

 i cui elementi apolari sono 0\ , 0\ ed 0"i , 0"^ . 



Se le Fi\ coincidono, il fascio S,_j contiene una involuzione, ed una sola, 

 quella individuata dai gruppi base 0'\0\, 0\0"i (42). Se 0\ coincidesse con 0'^ ed 

 0"i con 0"j , coinciderebbero i due gruppi base ed allora tutti gli aggruppamenti del 

 fascio sarebbero involuzioni. In questo caso il fascio conterrebbe le due involuzioni 

 singolari i cui elementi apolari sono 0\ , 0'\. 



Se A jp, , à!'pì hanno comuni due gruppi coincidenti con 0\ 0\ , e se X'p^ non 

 è singolare, preso un qualunque gruppo A^ A^ ed il polo A'^ di A^ rispetto ad A'p,, 

 sulla è individuata una projettività II', che ha due elementi doppi coincidenti con 

 O's, e nella quale ad A'^ corrisponde A^ . Se Bi B\ è un altro gruppo qualunque di 

 A'^, , per avere l'elemento corrispondente a B\ nella H* basta scegliere B^ in 

 modo che sia 0\A!,B\_^ O'^B^Aì (*). Ogni elemento Ai,Bi,... determina così 

 il polo A!^ , B\ . . . rispetto ad A!p,^ ed il polo A^, B^,... ài A!,_, B\ , . .. rispetto 

 alla n*. Ne segue che a ciascun elemento A^^Bi,. . . corrisponde rispettivamente 

 un elemento A^, B^,. .. ed i gruppi Ai A^, B^B,, . . . costituiscono un aggruppa- 

 mento Ap, che ha comnni con A!pi due gruppi coincidenti con 0\ 0\ . Due qua- 

 lunque aggruppamenti Xp^_ , A"pj , ciascuno dei quali ha comuni con A'^, due gruppi 

 coincidenti con 0\ O'j, anche fra loro hanno comuni due gruppi coincidenti con 

 O'i O'i , anche fra loro hanno comuni due gruppi coincidenti con O'i 0', . Infatti 

 ciò è evidente se uno di essi A"pi è singolare ed ha per elementi apolari O'i , 0\ . 

 Supponiamo che Ap, , A"j9, non siano singolari. È chiaro che 0\0'i è un gruppo 

 comune ad Ajjj , A"^j ; ora se questi aggruppamenti avessero un altro gruppo co- 

 mune Al J.J, da esso distinto, e se A\ fosse il polo di Ai rispetto a A'p, , le due 

 corrispondenze projettive 0*, II'*, rispettivamente coordinate ad À.pi, A'^Jj, ed Aj>j, 



{*) Loc. cit., n. 221. 



