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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



A"pi, avrebbero ciascuna due elementi doppi coincidenti con 0'^ ed in ciascuna 

 all'elemento A'^ corrisponderebbe l'elemento A^, qmndi esse dovrebbero coincidere, 

 e perciò coinciderebbero Ap^ , A"jpj . Si vede così che facendo variare il gruppo A^ 

 A, si ottengono , nel detto modo , tutti gli aggruppamenti Ajjj del fascio individuato 

 da A'pi , A'pi . Questo fascio si può immaginare dedotto da uno di quelli prima 

 considerati , quando vengano a coincidere i due gruppi base O'i 0\ , 0'\ 0\ , coin- 

 cidendo O'i , 0"i ed O'o , 0\_ ; possiamo perciò dire che esso contiene due aggrup- 

 pamenti singolari coincidenti, i cui elementi apolari sono 0\ , 0\ . Se coincidono le 

 , Fi e facciano coincidere A^_ con 0\ ed A^ con 0\ , abbiamo una involuzione del 

 fascio, la quale evidentemente è la sola contenuta in esso. 



Finalmente supponiamo che A!pi , A"})^ siano singolari e che i loro elementi apolari 

 siano rispettivamente 0\ , 0'^ ed 0\ , 0"j . In questo caso A'p^ , A"p3 , e tutti gli ag- 

 gruppamenti Api che hanno 0\ per elemento apolare, hanno comuni tutti i gruppi 

 costituiti da O'i con un elemento della Fi', ed essi soli ; quindi A'j^j , A'p^ individuano 

 un fascio i cui aggruppamenti sono tutti singolari, ed il quale ha infiniti gruppi base. 

 Lo chiameremo fascio singolare di aggruppamenti projettivi di 2° ordine. Se le Fi\ F^ 

 coincidono il fascio singolare contiene la involuzione singolare il cui elemento apolare 

 è 0\ , ed evidentemente non contiene altre involuzioni. 



Abbiamo così veduto che due aggruppamenti A'j), , A'p^ individuano sempre un 

 fascio Si^j. Dalla sua determinazione apparisce poi manifestamente che un gruppo 

 A^Ai, se non è base del fascio, appartiene sempre ad un suo aggruppamento, e ad 

 uno solo, e se le F^, F^ coincidono apparisce che o tutti gli aggruppamenti del 

 fascio sono involuzioni, o uno di essi, ed uno solo, è una involuzione. 



Tutti gli aggruppamenti projettivi di 2° ordine che contengono due dati gruppi 

 costituiscono un fascio. 



45. — Se un fascio S,_s è dotato di due gruppi base distinti 0'\0\,0\0"i, 

 e se 0"'i , 0"'\ sono rispettivamente i poli di O'^ , 0', rispetto ad un dato Ap^ , in 

 ciascuna delle proietti vità 11^ coordinate ad Ajp, e ad un aggruppamento di Sj,,, ad 

 0\ , 0"i corrispondono rispettivamente 0"\ , 0""i , per cui gli aggruppamenti projettivi 

 autopolari delle H' costituiscono un fascio. La proprietà regge, e si dimostra ugual- 

 mente, anche se i gruppi base di Si^j coincidono, ed anche se Si j è un fascio sin- 

 golare. 



46. — I poli di due qualunque elementi fìssi, presi rispetto ad uno stesso 

 aggruppamento di un fascio Sj ^ , si corrispondono projettivamente. 



Supponiamo che il fascio S, , possegga due gruppi base distinti 0\0"i, 0'\0's , 

 e prendiamo due qualunque elementi At, Bi. Se i poli di Ai, By rispetto ad un ag- 

 gruppamento Api, non singolare di Sj j, sono rispettivamente A,, B^ e rispetto ad un 

 altro aggruppamento A'p^ , non singolare di Si^, » sono rispettivamente A'^ , B', , ab- 

 biamo: 0\0\A,B,JO\0',A,B,JO\a,A',B',, e perciò: 0",0',A,A',1\ 0",0',B,B',(*). 

 Ne segue che, restando fisso Ap^ e quindi anche A, , B^, se A'pt varia nel fascio Sj^j 



(*) Loc. cit., ni. 85, 221. 



